Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Cánh diều - Đề số 8

a) Giá trị đại diện nhóm [50;60) là 55.

b) Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất thuộc nhóm [50;60).

c) Nhóm chứa mốt là [30;40).

d) Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 32 tuổi.

a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và m.

b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc \(\widehat {AOB}\) (nếu \(\widehat {AOB} < {90^o}\)) hoặc \({180^o} - \widehat {AOB}\) (nếu \({90^o} < \widehat {AOB} < {180^o}\)).

c) Nếu \(\widehat {AOB} = {90^o}\) thì ta nói \((P) \bot (Q)\).

d) Giả sử góc

\(\widehat {AOB} = {120^o}\) thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là \({120^o}\).

Áp dụng tính chất lũy thừa.

\({a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}\).

Áp dụng tính chất logarit.

\({\log _a}(MN) = {\log _a}M + {\log _a}N\).

Hàm số mũ có dạng \(y = {a^x}\).

\(y = {2^x}\) là hàm số mũ.

\(y = {\log _a}x\) có tập xác định là \(D = \left( {0; + \infty } \right)\).

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 > 0\\2x + 1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x > 1\\x > - \frac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x > 1\). Vậy \(D = \left( {1; + \infty } \right)\).

Với hai biến cố A, B xung khắc, ta có \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).

\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) \Leftrightarrow P(B) = P(A \cup B) - P(A) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}\).

Áp dụng công thức nhân xác suất.

Hai chiếc động cơ hoạt động độc lập với nhau nên xác suất để cả hai động cơ chạy tốt là 0,8.0,7 = 0,56.

Số củ khoai tây đạt chuẩn loại I (từ 90 gam đến dưới 100 gam) là tần số của nhóm [90;100).

Số củ khoai tây đạt chuẩn loại I (từ 90 gam đến dưới 100 gam) là 12.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABC) \Rightarrow SA \bot AB\\AC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SAC)\).

Áp dụng công thức tính thể tích của khối chóp.

Thể tích khối chóp có diện tích đáy là S và có chiều cao là h là \(V = \frac{1}{3}Sh\).

Nếu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khác thì hai mặt phẳng đó vuông góc với nhau.

S.ABCD là chóp tứ giác đều nên ABCD là hình vuông. Do đó \(AC \bot BD\).

Mặt khác, \(SO \bot AC\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AC\\BD \bot AC\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (SBD) \Rightarrow (SAC) \bot (SBD)\).

Tìm hình chiếu vuông góc của B lên (SAD) rồi tính khoảng cách từ B đến hình chiếu đó.

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB\\AD \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot (SAD)\).

Do đó, A là hình chiếu vuông góc của B lên (SAD).

Khoảng cách từ B đến (SAD) là AB = a.

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc mặt phẳng.

O là tâm hình chữ nhật ABCD nên O là trung điểm của AC và BD.

Theo giả thiết, các tam giác SAC và SBD cân tại S nên SO vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao của hai tam giác.

Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}SO \bot AC\\SO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot (ABCD)\).

a) Giá trị đại diện nhóm [50;60) là 55.

b) Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất thuộc nhóm [50;60).

c) Nhóm chứa mốt là [30;40).

d) Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là 32 tuổi.

a) Giá trị đại diện của nhóm là trung bình cộng hai đầu mút của nhóm.

b) Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất thuộc nhóm có tần số nhỏ nhất.

c) Nhóm chứa mốt có tần số lớn nhất trong bảng số liệu.

d) Công thức tính mốt thuộc nhóm \([{u_m};{u_{m + 1}})\):

\({M_o} = {u_m} + \frac{{{n_m} - {n_{m - 1}}}}{{\left( {{n_m} - {n_{m - 1}}} \right)\left( {{n_m} - {n_{m + 1}}} \right)}}.\left( {{u_{m + 1}} - {u_m}} \right)\); trong đó \({n_m}\) là tần số nhóm thứ m.

a) Đúng. Giá trị đại diện của nhóm [50;60) là \(\frac{{50 + 60}}{2} = 55\).

b) Đúng. Độ tuổi được dự báo là ít xem phim đó nhất thuộc nhóm [50;60) vì có tần số nhỏ nhất là 2.

c) Đúng. Nhóm chứa mốt là [30;40) vì có tần số lớn nhất là 16.

d) Sai. Độ tuổi được dự báo là thích xem phim đó nhiều nhất là mốt của mẫu số liệu:

\({M_o} = 30 + \frac{{16 - 12}}{{\left( {16 - 12} \right)\left( {16 - 7} \right)}}.\left( {40 - 30} \right) = \frac{{280}}{9} \approx 31,(1)\).

a) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và m.

b) Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc \(\widehat {AOB}\) (nếu \(\widehat {AOB} < {90^o}\)) hoặc \({180^o} - \widehat {AOB}\) (nếu \({90^o} < \widehat {AOB} < {180^o}\)).

c) Nếu \(\widehat {AOB} = {90^o}\) thì ta nói \((P) \bot (Q)\).

d) Giả sử góc

\(\widehat {AOB} = {120^o}\) thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là \({120^o}\).

Áp dụng quy tắc xác định góc giữa hai mặt phẳng. Quy ước góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0 đến 90 độ.

a) Sai. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}(P) \cap (Q) = \Delta \\m \bot \Delta ,m \subset (P)\\n \bot \Delta ,n \subset (Q)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {(P),(Q)} \right) = \left( {m,n} \right)\).

b) Đúng. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng m và n, hay góc \(\widehat {AOB}\) (nếu \(\widehat {AOB} < {90^o}\)) hoặc \({180^o} - \widehat {AOB}\) (nếu \({90^o} < \widehat {AOB} < {180^o}\)).

c) Đúng. Nếu \(\widehat {AOB} = {90^o}\) thì ta nói \((P) \bot (Q)\).

d) Sai. Giả sử góc \(\widehat {AOB} = {120^o}\) thì ta nói góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là \({180^o} - {120^o} = {60^o}\).

Tính M(8) (thay t = 8 vào công thức đề bài cho và tính giá trị).

Khả năng nhớ trung bình của nhóm học sinh đó sau 8 tháng là \(M(8) = 75 - 20\ln (8 + 1) \approx 31,1\)%.

Nếu a // c, b // d thì (a,b) = (c,d).

Áp dụng tính chất của đường trung bình trong tam giác, ta có NP // AD, MN // BC.

Vậy \((AD,BC) = (NP,MN) = \widehat {MNP} = {90^o}\).

Áp dụng công thức cộng xác suất.

A: “Chọn được học sinh đăng ký học Toán”.

B: “Chọn được học sinh đăng ký học Lý”.

\(A \cap B\): “Chọn được học sinh đăng ký cả Toán và Lý”.

\(A \cup B\): “Chọn được học sinh đăng ký học phụ đạo”.

Xác suất chọn được học sinh đăng ký học phụ đạo là: \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{{38}}{{50}} + \frac{{30}}{{50}} - \frac{{25}}{{50}} = \frac{{43}}{{50}}\).

Xác suất để chọn ra học sinh không đăng ký môn nào là: \(1 - \frac{{43}}{{50}} = \frac{7}{{50}} = 0,14\).

\({Q_2} = {u_m} + \frac{{\frac{n}{2} - C}}{{{n_m}}}.({u_{m + 1}} - {u_m})\).

Cỡ mẫu: n = 3 + 12 + 15 + 24 + 2 = 56.

Gọi \({x_1};{x_2};...;{x_{33}}\) là thời gian học sinh truy cập internet sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Có \(\frac{n}{2} = \frac{{56}}{2} = 28\) nên \({Q_2} = \frac{{{x_{28}} + {x_{29}}}}{2} \in [15,5;18,5)\).

\({Q_2} = 15,5 + \frac{{\frac{{56}}{2} - (3 + 12)}}{{15}}.(18,5 - 15,5) = 18,1\).

Tính \(\frac{{M(24)}}{{M(0)}}\).

Khối lượng vi khuẩn ở thời điểm ban đầu là \(M(0) = 50.1,{06^0} = 50\) (g).

Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ là \(M(24) = 50.1,{06^{24}}\) (g).

Khối lượng vi khuẩn sau 24 giờ gấp \(\frac{{50.1,{{06}^{24}}}}{{50}} \approx 4\) lần khối lượng vi khuẩn ban đầu.

Áp dụng các công thức biến đổi logarit: \({\log _a}b = x \Leftrightarrow b = {a^x}\); \({\log _a}\frac{x}{y} = {\log _a}x - {\log _a}y\).

Gọi độ pH của dung dịch A là \(p{H_A}\), độ pH của dung dịch B là \(p{H_B}\); nồng độ ion \({H^ + }\) của dung dịch A là \({x_A}\), nồng độ ion \({H^ + }\) của dung dịch B là \({x_B}\).

Theo giả thiết:

\(p{H_A} - p{H_B} = 0,6 \Leftrightarrow - \left( {\log {x_A} - \log {x_B}} \right) = 0,6 \Leftrightarrow \log {x_B} - \log {x_A} = 0,6\)

\( \Leftrightarrow \log \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = 0,6 \Leftrightarrow \frac{{{x_B}}}{{{x_A}}} = {10^{0,6}} \approx 4\).

Xác định đoạn thẳng thể hiện khoảng cách giữa AB và SC. Từ đó, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm chiều cao khối chóp và tính thể tích.

Gọi H, I lần lượt là trung điểm của AB, CD. Kẻ \(HK \bot SI\).

SH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến của tam giác cân SAB, suy ra \(SH \bot AB\).

Mà \((SAB) \bot (ABCD)\), \((SAB) \cap (ABCD) = AB\) nên \(SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot CD\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}SH \bot CD\\HI \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SHI) \Rightarrow CD \bot HK\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}HK \bot SI\\HK \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow HK \bot (SCD)\).

Vì CD // AB nên \(d\left( {AB,DC} \right) = d\left( {AB,(SCD)} \right) = d\left( {H,(SCD)} \right) = HK\).

Ta có \(HK = \frac{3}{2}\), \(HI = AD = \sqrt 3 \).

Xét tam giác vuông SHI vuông tại H có đường cao HK:

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{H{S^2}}} + \frac{1}{{H{I^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{H{S^2}}} = \frac{1}{{H{K^2}}} - \frac{1}{{H{I^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{1}{9} \Leftrightarrow HS = 3\).

Thể tích khối chóp là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SH.{S_{ACBD}} = \frac{1}{3}.SH.AB.AD = \frac{1}{3}.3.1.\sqrt 3 = \sqrt 3 \approx 1,73\).