Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 1

a) Xác suất để cả ba người đều bắn trúng là 0,504

b) Xác suất để đúng 2 người bắn trúng là 0,398

c) Xác suất để không người nào bắn trúng là 0,006

d) Xác suất để ít nhất một người bắn trúng là 0,856

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: \(y = 2x + 3\) hoặc \(y = 2x - 3\)

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(({d_1})\) : \(y = - \frac{1}{6}x + 1\) là \(y = 6x - \frac{{25}}{2}\) hoặc \(y = 6x + \frac{{25}}{3}\)

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_2})\):\(y = 2020\)là y = 1 hoặc \(y = \frac{5}{6}\)

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_3}):4x + y - 5 = 0\)là \(y = - 4x - 2\)

a) \(CD \bot (SHM)\)

b) \(AC \bot (SHM)\)

c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\)

d) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\)

a) Đạo hàm của hàm số là \(y' = (\sqrt {2x - {x^2}} )' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\)

b) Biểu thức \(y'(1) = 0\)

c) Biểu thức \(y''1) = 0\)

d) \({y^3}y'' + 1 = 0,\forall x \in (0;2).\)

Sử dụng công thức mũ và lũy thừa để tính.

\(A = \frac{{{{12}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{4^{5 + \sqrt 3 }}{{.3}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{2^{10 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{5 + \sqrt 3 }}}}{{{2^{5 + 2\sqrt 3 }}{{.3}^{7 + \sqrt 3 }}}} = \frac{{{2^5}}}{{{3^2}}} = \frac{{32}}{9}\).

Đáp án B.

\(\sqrt[n]{{{a^n}}} = \left| a \right|\) khi n chẵn (với các biểu thức đều có nghĩa).

\(\sqrt[8]{{{{\left( {x - 1} \right)}^8}}} = \left| {x - 1} \right|\)

Đáp án C.

Phương trình vận tốc của chất điểm: \(v\left( t \right) = s'\left( t \right)\)

\(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = ({t^2} + 2t)' = 2t + 2\)

Tại thời điểm \(t = 3s\), vận tốc tức thời của chất điểm là: \(v = 2.3 + 2 = 8\)

Vậy tại thời điểm \(t = 3s\)vận tốc tức thời của chất điểm là \(8m/s.\)

Đáp án C.

Sử dụng công thức tính đạo hàm

\(\begin{array}{l}y' = (2\sin x - 3\cos x + 3)' = 2\cos x + 3\sin x\\ \Rightarrow a = 2,b = 3,c = 0\end{array}\)

Vậy \(S = 2a + b - c = 2.2 + 3 - 0 = 7\)

Vậy PT có tất cả 1 nghiệm

Đáp án B.

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

\(\begin{array}{l}y' = (\sqrt {2 + 2{x^2}} )' = \frac{{(2 + 2{x^2})'}}{{2\sqrt {2 + 2{x^2}} }} = \frac{{4x}}{{2\sqrt {2 + 2{x^2}} }} = \frac{{2x}}{{\sqrt {2 + 2{x^2}} }}\\ \Rightarrow a = 0,b = 2\\ \Rightarrow S = - 4\end{array}\)

Đáp án A.

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi I là \(\frac{3}{{10}}\)

Xác suất lấy được viên bi màu xanh từ túi II là \(\frac{{10}}{{16}} = \frac{5}{8}\)

Xác suất lấy được hai viên bi cùng màu xanh là \(\frac{3}{{10}}.\frac{5}{8} = \frac{3}{{16}}\)

Đáp án B.

Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): \(y = f(x)\)tại điểm \(M({x_0};f({x_0}))\)là:

\(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\)

Trong đó:

\(M({x_0};f({x_0}))\)gọi là tiếp điểm.

\(k = f'({x_0})\)là hệ số góc.

(C) cắt trục tung tại điểm \(M(0; - 2)\)

\(y' = ( - {x^3} + 3x - 2)' = - 3{x^2} + 3\)

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm \(M(0; - 2)\)là:

\(y = f'(0)(x - 0) + f(0) = 3x - 2\)

Đáp án C.

Sử dụng định nghĩa về đạo hàm tại một điểm.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và x₀ ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và kí hiệu là f’(x₀) (hoặc y’(x₀)), tức là: \(f'\left( {{x_0}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f({x_0})}}{{x - {x_0}}}\)

\(f'\left( 1 \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 1 \right)}}{{x - 1}}\)

Đáp án A.

+ Cho hai đường thẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.

+ Hai đường thẳng a, b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \({90^0}\).

Vì tứ giác ABCD là hình thoi nên O là trung điểm của AC.

Vì \(SA = SC\) nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, \(SO \bot AC\)

Vì I, K lần lượt là trung điểm của AB và BC nên IK là đường trung bình của tam giác BAC. Do đó, IK//AC.

Vì \(SO \bot AC\), IK//AC nên \(IK \bot SO\). Do đó, góc giữa hai đường thẳng SO và IK bằng \({90^0}\).

Đáp án B.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P) thì đường thẳng d cũng vuông góc với các mặt phẳng song song với (P).

+ Đường thẳng d gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P).

Vì M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Do đó, MN//AB.

Vì P, N lần lượt là trung điểm của SC, SB nên PN là đường trung bình của tam giác SBC. Do đó, PN//CB.

Vì MN//AB, PN//CB nên (MNP)// (ABC).

Mặt khác, \(SH \bot \left( {ABC} \right)\) nên \(SH \bot \left( {MNP} \right)\). Mà \(MP \subset \left( {MNP} \right) \Rightarrow SH \bot MP\)

Do đó, góc giữa hai đường thẳng MP và SH bằng \({90^0}\).

Đáp án B.

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng nằm trong mặt phẳng (P) thì \(d \bot \left( P \right)\).

+ Nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

Kẻ \(BH \bot SC \Rightarrow DH \bot SC\)(hai đường cao tương ứng của hai tam giác bằng nhau)

\( \Rightarrow \left( {(SBC),(SCD)} \right) = \left( {BH,DH} \right) = {60^0}\)

Có hai trường hợp xảy ra:

TH1:

\(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {60^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {30^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {30^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}} = a\sqrt {\frac{3}{2}} \end{array}\)

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{a\sqrt {\frac{3}{2}} }}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \sqrt 3 = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow 3({x^2} + 2{a^2}) = {x^2}\\ \Leftrightarrow 2{x^2} + 6{a^2} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 \)(không có đáp án nào thỏa mãn)

TH2:

\(\begin{array}{l}\widehat {BHD} = {120^0} \Rightarrow \widehat {BHO} = {60^0}\\OB = \frac{a}{{\sqrt 2 }},\tan {60^0} = \frac{{OB}}{{OH}} \Rightarrow OH = \frac{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}}{{\sqrt 3 }} = \frac{a}{{\sqrt 6 }}\end{array}\)

Xét hai tam giác đồng dạng SAC và OHC ta có:

\(\begin{array}{l}\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{SA}}{{SC}} \Leftrightarrow \frac{{\frac{a}{{\sqrt 6 }}}}{{\frac{a}{{\sqrt 2 }}}} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow \frac{1}{{\sqrt 3 }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 2{a^2}} }} \Leftrightarrow {x^2} + 2{a^2} = 3{x^2}\\ \Leftrightarrow x = a\end{array}\)

Đáp án D.

Sử dụng phương pháp tính góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy của chóp

Xét hình chóp tam giác đều S.ABC, O là tâm của tam giác ABC, M là trung điểm AB.

Giả sử, AB = a, khi đó SO = a.

Ta có: \(CM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2},CO = \frac{2}{3}CM = \frac{a}{{\sqrt 3 }}\).

\(\begin{array}{l}(SC,(ABC)) = \widehat {SCO}\\\tan \widehat {SCO} = \frac{{SO}}{{CO}} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \widehat {SCO} = {60^0}\end{array}\).

Vậy \((SC,(ABC)) = {60^0}\).

a) Xác suất để cả ba người đều bắn trúng là 0,504

b) Xác suất để đúng 2 người bắn trúng là 0,398

c) Xác suất để không người nào bắn trúng là 0,006

d) Xác suất để ít nhất một người bắn trúng là 0,856

Bước 1: Xác định biến cố của các xác suất, có thể gọi tên các biến cố A; B; C; D để biểu diễn.

Bước 2: Tìm mối quan hệ giữa các biến cố vừa đặt tên, biểu diễn biến cố trung gian và quan trọng nhất là biến cố đề bài đang yêu cầu tính xác suất thông qua các biến cố ở bước 1.

Bước 3: Sử dụng các mối quan hệ vừa xác định ở bước 2 để chọn công thức cộng hay công thức nhân phù hợp.

Gọi A là biến cố: “Người thứ nhất bắn trúng”; P(A) = 0,9

B là biến cố: “Người thứ hai bắn trúng”; P(B) = 0,7

C là biến cố: “Người thứ ba bắn trúng”; P(C) = 0,8

A, B, C là ba biến cố độc lập

Khi đó:

\(\overline A \)là biến cố: “Người thứ nhất bắn không trúng”; \(P(\overline A ) = 1 - 0,9 = 0,1\)

\(\overline B \)là biến cố: “Người thứ hai bắn không trúng”; \(P(\overline B ) = 1 - 0,7 = 0,3\)

\(\overline C \) là biến cố: “Người thứ ba bắn không trúng”; \(P(\overline C ) = 1 - 0,8 = 0,2\)

1. a) \(A \cap B \cap C\) là biến cố: “Cả ba người bắn trúng”

Xác suất để cả ba người bắn trúng là: 

\(P(A \cap B \cap C) = 0,9.0,7.0,8 = 0,504\)

1. b) Gọi D là biến cố: “Đúng hai người bắn trúng”

Ta có: \(D = (A \cap B \cap \overline C ) \cup (A \cap \overline B \cap C) \cup (\overline A \cap B \cap C)\) 

Xác suất để có đúng hai người bắn trúng là:

P(D) = 0,9.0,7.0,2 + 0,9.0,3.0,8 + 0,1.0,7.0,8 = 0,398.

c)\(E = (\overline A \cap \overline B \cap \overline C )\)là biến cố: “Không người nào người bắn trúng”

Xác suất để không người nào người bắn trúng là:

\(P(E) = P(\overline A \cap \overline B \cap \overline C ) = P(\overline A ).P(\overline B ).P(\overline C ) = 0,1.0,3.0,2 = 0,006\) 

d)\(\overline E \) là biến cố: “Ít nhất một người bắn trúng”

Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là: \(P(\overline E ) = 1 - P(E) = 1 - 0,006 = 0,994\)

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 2 là: \(y = 2x + 3\) hoặc \(y = 2x - 3\)

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(({d_1})\) : \(y = - \frac{1}{6}x + 1\) là \(y = 6x - \frac{{25}}{2}\) hoặc \(y = 6x + \frac{{25}}{3}\)

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_2})\):\(y = 2020\)là y = 1 hoặc \(y = \frac{5}{6}\)

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng \(({d_3}):4x + y - 5 = 0\)là \(y = - 4x - 2\)

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3:Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀).

Ta có\(y' = f'(x) = {x^2} - x\)

1. a) Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\) mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 2

\( \Rightarrow f'({x_0}) = 2 \Leftrightarrow x_0^2 - {x_0} = 2 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = - 1\end{array} \right.\)

* Với \({x_0} = 2\) ta có \({y_0} = f(0) = \frac{1}{3}{.2^3} - \frac{1}{2}{.2^2} + 1 = \frac{5}{3} \Rightarrow {M_1}(2;\frac{5}{3})\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_1}(2;\frac{5}{3})\) là \(y = 2(x - 2) + \frac{5}{3}\,\,hay\,\,y = 2x - \frac{7}{3}\)

* Với \({x_0} = - 1\)ta có \({y_0} = f( - 1) = \frac{1}{6} \Rightarrow {M_2}( - 1;\frac{1}{6})\) 

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm \({M_2}( - 1;\frac{1}{6})\) là \(y = 2(x + 1) + \frac{1}{6}\,\,hay\,\,y = 2x + \frac{{13}}{6}\)

1. b) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với \((d):y = - \frac{1}{6}x + 1\) nên \( - \frac{1}{6}k = - 1 \Leftrightarrow k = 6\)

Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 6.

\(f'({x_0}) = 6 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 3\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)

* Với \({x_0} = 3\) ta có \({y_0} = f(3) = \frac{{11}}{2} \Rightarrow {M_1}(3;\frac{{11}}{2}) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(3;\frac{{11}}{2}\)) là \(y = 6(x - 3) + \frac{{11}}{2}\,\,hay\,\,y = 6x - \frac{{25}}{2}\)

* Với \({x_0} = - 2\) ta có \({y_0} = f( - 2) = - \frac{{11}}{3} \Rightarrow {M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3}) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}( - 2; - \frac{{11}}{3})\) là \(y = 6(x + 2) - \frac{{11}}{3}\,\,hay\,\,y = 6x + \frac{{25}}{3}\)

1. c) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với (d') : y = 2020 với hệ số góc là 0

⇒ k = 0

Gọi \(M({x_0},{y_0}) \in (C)\)mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 0 

\( \Rightarrow f'({x_0}) = 0 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 0\\{x_0} = 1\end{array} \right.\)

* Với \({x_0} = 0\)ta có \({y_0} = f(0) = 1 \Rightarrow {M_1}(0;1) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_1}(0;1)\)là y = 1.

* Với \({x_0} = 1\)ta có\({y_0} = f(1) = \frac{5}{6} \Rightarrow {M_2}(1;\frac{5}{6}) \in (C)\)

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại \({M_2}(1;\frac{5}{6})\) là \(y = \frac{5}{6}\) 

d)\(({d_3}):4x + y - 5 = 0\) hay \(({d_3}):y = - 4x + 5\)

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C).

Do tiếp tuyến song song với \(({d_3}):y = - 4x + 5\)với hệ số góc là – 4

Nên k = -4

\( \Rightarrow f'({x_0}) = - 4 \Rightarrow x_0^2 - {x_0} = - 4 \Rightarrow \)PT vô nghiệm

Suy ra không tổn tại tiếp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài

a) \(CD \bot (SHM)\)

b) \(AC \bot (SHM)\)

c) Khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\)

d) Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SCD) là \(\frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\)

Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

a) \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot HM\\CD \bot SH\\SM,SH \subset (SHM)\\SM \cap SH\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SHM)\)

b) AC không vuông góc với (SHM)

c) Gọi H, M lần lượt là trung điểm của AB và CD .

Suy ra HM =1, SH = \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\)và SM =\(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Vì tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD) nên SH⊥(ABCD)

Vì AB//CD nên AB// (SCD).

Do đó d (B; (SCD)) = d(H; (SCD)) = HK với HK⊥SM trong (SHM).

Ta có: 

\(\frac{1}{{H{K^2}}} = \frac{1}{{S{H^2}}} + \frac{1}{{H{M^2}}} \Rightarrow HK = \frac{{\sqrt {21} }}{7}\)

d) \(\begin{array}{l}d(H,(SCD)) = 2.d(O,(SCD))\\ \Rightarrow d(O,(SCD)) = \frac{{\sqrt {21} }}{{14}}\end{array}\)

a) Đạo hàm của hàm số là \(y' = (\sqrt {2x - {x^2}} )' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\)

b) Biểu thức \(y'(1) = 0\)

c) Biểu thức \(y''1) = 0\)

d) \({y^3}y'' + 1 = 0,\forall x \in (0;2).\)

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

a) \(y' = (\sqrt {2x - {x^2}} )' = \frac{{(2x - {x^2})'}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{2 - 2x}}{{2\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}\)

b) \(y'(1) = \frac{{1 - 1}}{{\sqrt {2.1 - {1^2}} }} = 0\)

c) \(\begin{array}{l}y'' = (\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }})' = \frac{{(1 - x)'.(\sqrt {2x - {x^2}} ) - (1 - x).\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)'}}{{{{(\sqrt {2x - {x^2}} )}^2}}} = \frac{{ - \sqrt {2x - {x^2}} - (1 - x).\frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }}}}{{2x - {x^2}}}\\ = \frac{{ - (2x - {x^2}) - {{(1 - x)}^2}}}{{(2x - {x^2})\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{ - 1}}{{(2x - {x^2})\sqrt {2x - {x^2}} }} = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}}\\ \Rightarrow y''(1) = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}} = - 1\end{array}\)

d)\({y^3}y'' + 1 = {\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)^3}.\frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}} + 1 = - 1 + 1 = 0\)

Hàm số \(y = \log u\left( x \right)\) xác định khi \(u\left( x \right) > 0\).

Hàm số \(y = \sqrt {u\left( x \right)} \) xác định khi \(u\left( x \right) \ge 0\).

Hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \)

Điều kiện: \(\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right) \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5 \ge 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

Đặt \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4\)

Trường hợp 1: Với \(m = - 1\) ta có: \(f\left( x \right) = 4 \ge 0\). Do đó, f(x) xác định với mọi giá trị thực của x. Do đó, \(m = - 1\) thỏa mãn.

Trường hợp 2: \(m \ne - 1\).

Hàm số \(f\left( x \right) = \left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4 \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m + 1 > 0\\\Delta ' = {\left[ { - \left( {m + 1} \right)} \right]^2} - 4\left( {m + 1} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\\left( {m + 1} \right)\left( {m - 3} \right) \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow - 1 < m \le 3\)

Vậy với \(m \in \left[ { - 1;3} \right]\) thì hàm số \(y = \frac{1}{4}\sqrt {\log \left( {\left( {m + 1} \right){x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 5} \right)} \) có tập xác định là \(\mathbb{R}\).

Đáp án

\(m \in \left[ { - 1;3} \right]\)

Nếu \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l} - 1 \le x \le 1\\x - \sqrt {{x^2} - 1} > 0\end{array} \right.\left( * \right)\)

\({\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left| {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right|\)

\( \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}\frac{1}{{x - \sqrt {{x^2} - 1} }} = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\)

\( \Leftrightarrow - {\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right).{\log _3}6.{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\)

\( \Leftrightarrow {\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right)\left[ {{{\log }_3}6.{{\log }_2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _6}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\;\left( 1 \right)\\{\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + 1 = 0\;\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x - \sqrt {{x^2} - 1} = 1 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 1} = x - 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\{x^2} - 1 = {\left( {x - 1} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 1\left( {tm\left( * \right)} \right)\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow {\log _3}6.{\log _2}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = - 1 \Leftrightarrow {\log _2}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = {\log _6}3\)

\( \Leftrightarrow x + \sqrt {{x^2} - 1} = {2^{{{\log }_6}3}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le {2^{{{\log }_6}3}}\\{x^2} - 1 = {\left( {{2^{{{\log }_6}3}} - x} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\left( {{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ - {{\log }_6}3}}} \right)\) (thỏa mãn điều kiện)

Đáp án

\(x = \frac{1}{2}\left( {{2^{{{\log }_6}3}} + {2^{ - {{\log }_6}3}}} \right)\)

Phương trình vận tốc và gia tốc của chất điểm: \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right)\\a\left( t \right) = v'\left( t \right)\end{array} \right.\)

Gọi \(v\left( t \right)\), \(a\left( t \right)\) lần lượt là vận tốc và gia tốc của chất điểm.

Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}v\left( t \right) = s'\left( t \right) = {t^3} - 3{t^2} + 5t + 10\\a\left( t \right) = v'\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5\end{array} \right.\).

Mà \(a\left( t \right) = 3{t^2} - 6t + 5 = 3{\left( {t - 1} \right)^2} + 2 \ge 2\) với mọi \(t\), dấu “\( = \)” xảy ra khi chỉ khi \(t = 1\).

Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm nhỏ nhất bằng \(2\) khi \(t = 1\).

Vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm gia tốc nhỏ nhất là

\(v\left( 1 \right) = {\left( 1 \right)^3} - 3 \cdot {1^2} + 5 \cdot 1 + 10 = 13\) \(\left( {m/\,s} \right)\).

Đáp án

13 \(\left( {m/\,s} \right)\)

Sử dụng Quy tắc nhân

Số phần tử không gian mẫu là : \({n_\Omega } = C_{30}^{10} = 30045015\)

Gọi A là biến cố lấy được 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn trong đó chỉ có đúng một tấm thẻ chia hết cho 10.

\({n_A} = C_{15}^5.C_3^1.C_{12}^4 = 4459455\)

Vậy xác suất biến cố A là \(P(A) = \frac{{99}}{{667}}\)

Đáp án

\(\frac{{99}}{{667}}\)

+ Sử dụng phương pháp: Nếu đường thẳng // mặt phẳng thì khoảng cách giữa các điểm thuộc đường thẳng đó đến mặt phẳng sẽ bằng nhau.

+ Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ chân đường cao đến mặt bên của chóp.

Ta có:

\(\frac{{d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right)}}{{d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right)}} = \frac{{DM}}{{DA}} = \frac{1}{2} \Rightarrow d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right).\)

Vì \(M\)là trung điểm của \(AD\) nên có: \(AM = MD = \frac{1}{2}AD = a.\)

Tứ giác \(ABCM\) có: \(BC//AM\,\,\left( {gt} \right)\) và \(BC = AM = a\) nên nó là hình bình hành.

Suy ra: \(CM = AB = a.\)

Tam giác \(ACD\) có \(CM\) là đường trung tuyến và \(CM = AM = MD = \frac{1}{2}AD\) nên tam giác \(ACD\)là tam giác vuông tại \(C.\)

Suy ra: \(CD \bot AC.\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AC\,\,\left( {cmt} \right)\\CD \bot SA\,\,\,\left( {do\,\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAC} \right).\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot \left( {SAC} \right)\\CD \subset \left( {SCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right).\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right),\) kẻ \(AH \bot SC\,\,\left( {H \in SC} \right).\)

Ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \bot \left( {SAC} \right)\\\left( {SCD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SC\\AH \bot SC\\AH \subset \left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SCD} \right).\)

Suy ra: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH.\)

Tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(B\) có \(AB = BC = a\) nên \(AC = a\sqrt 2 .\)

Tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\,\,\left( {do\,SA \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\) có :

\(AH = \frac{{AS.AC}}{{\sqrt {A{S^2} + A{C^2}} }} = \frac{{a.\,a\sqrt 2 }}{{\sqrt {{a^2} + 2{a^2}} }} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Suy ra: \(d\left( {A,\left( {SCD} \right)} \right) = AH = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}.\)

Suy ra: \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\)

Vậy \(d\left( {M,\left( {SCD} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}.\)

Đáp án

\(\frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)

Tìm tọa độ giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục hoành

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): \(y = f(x)\)tại điểm \(M({x_0};f({x_0}))\)là:

\(y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})\)

Trong đó:

\(M({x_0};f({x_0}))\)gọi là tiếp điểm.

\(k = f'({x_0})\)là hệ số góc.

Giao điểm của (C) với trục hoành là \({M_0}\left( { - 1\,\,;\,\,0} \right)\)

Ta có: \(y' = \frac{1}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) \( \Rightarrow k = y'( - 1) = 1\)

Vậy phương trình tiếp tuyến tại \({M_0}\left( { - 1\,\,;\,\,0} \right)\) là : \(y = 1(x + 1) + 0 = x + 1\)

Đáp án

\(y = x + 1\)