Giải câu hỏi trắc nghiệm trang 24, 25 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Biết rằng \({2^a} = 9\). Tính giá trị của biểu thức \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{a}{6}}}\).

A. \(\frac{1}{2}\)

B. \(\frac{1}{3}\)

C. \(\frac{1}{9}\)

D. 3

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phương trình mũ cơ bản để giải: \({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)

+ Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({2^a} = 9 \Rightarrow a = {\log _2}9\).

Do đó, \({\left( {\frac{1}{8}} \right)^{\frac{a}{6}}} \) \( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^a} \) \( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{{{\log }_2}9}} \) \( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - \frac{1}{2}{{\log }_{\sqrt 2 }}9}} \) \( = {\left( {\sqrt 2 } \right)^{ - {{\log }_{\sqrt 2 }}{9^{\frac{1}{2}}}}} \) \( = \frac{1}{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^{{{\log }_{\sqrt 2 }}3}}}} \) \( = \frac{1}{3}\)

Chọn B

Giá trị của biểu thức \(2{\log _5}10 + {\log _5}0,25\) bằng

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có:

\({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\), \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\), \({\log _a}{a^b} = b\)

Lời giải chi tiết:

\(2{\log _5}10 + {\log _5}0,25 \) \( = {\log _5}{10^2} + {\log _5}0,25 \) \( = {\log _5}\left( {100.0,25} \right) \) \( = {\log _5}{5^2} \) \( = 2\)

Chọn C.

Cho x và y là số dương. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \({2^{\log x + \log y}} = {2^{\log x}} + {2^{\log y}}\)

B. \({2^{\log \left( {x + y} \right)}} = {2^{\log x}}{.2^{\log y}}\)

C. \({2^{\log \left( {xy} \right)}} = {2^{\log x}}{.2^{\log y}}\)

D. \({2^{\log x.\log y}} = {2^{\log x}} + {2^{\log y}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có: \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\)

Lời giải chi tiết:

\({2^{\log x}}{.2^{\log y}} = {2^{\log x + \log y}} = {2^{\log \left( {xy} \right)}}\)

Chọn C

Biết rằng \(x = {\log _3}6 + {\log _9}4\). Giá trị của biểu thức \({3^x}\) bằng

A. 6

B. 12

C. 24

D. 48

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có:

\({\log _a}{M^\alpha } = \alpha {\log _a}M\left( {\alpha \in \mathbb{R}} \right)\), \({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\)

Lời giải chi tiết:

\(x \) \( = {\log _3}6 + {\log _9}4 \) \( = {\log _3}6 + \frac{1}{2}{\log _3}4 \) \( = {\log _3}6 + {\log _3}{4^{\frac{1}{2}}} \) \( = {\log _3}\left( {6.2} \right) \) \( = {\log _3}12\)

Do đó, \({3^x} \) \( = {3^{{{\log }_3}12}} \) \( = 12\)

Chọn B

Giá trị của biểu thức \(\left( {{{\log }_2}25} \right)\left( {{{\log }_5}8} \right)\) bằng

A. 4

B. \(\frac{1}{4}\)

C. 6

D. \(\frac{1}{6}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit để tính: Cho các số dương a, b, N, \(a \ne 1,b \ne 1\) ta có: \({\log _a}N = \frac{{{{\log }_b}N}}{{{{\log }_b}a}}\).

Lời giải chi tiết:

\(\left( {{{\log }_2}25} \right)\left( {{{\log }_5}8} \right) \) \( = {\log _2}25.\frac{{{{\log }_2}8}}{{{{\log }_2}5}} \) \( = 2{\log _2}5.\frac{{3{{\log }_2}2}}{{{{\log }_2}5}} \) \( = 6\)

Chọn C

Đặt \(\log 3 = a,\log 5 = b\). Khi đó, \({\log _{15}}50\) bằng

A. \(\frac{{1 + 2b}}{{a + b}}\)

B. \(\frac{{a - b}}{{a + b}}\)

C. \(\frac{{1 - b}}{{a + b}}\)

D. \(\frac{{1 + b}}{{a + b}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về phép tính lôgarit: Với \(a > 0,a \ne 1,M > 0,N > 0\) ta có:\({\log _a}\left( {MN} \right) = {\log _a}M + {\log _a}N\)

Lời giải chi tiết:

\({\log _{15}}50 \) \( = \frac{{\log 50}}{{\log 15}} \) \( = \frac{{\log \left( {5.10} \right)}}{{\log \left( {3.5} \right)}} \) \( = \frac{{\log 5 + \log 10}}{{\log 3 + \log 5}} \) \( = \frac{{b + 1}}{{a + b}}\)

Chọn D

Cho ba số \(a = {4^{0,9}},b = {8^{0,5}},c = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1,6}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(c > a > b\)

B. \(c > b > a\)

C. \(a > b > c\)

D. \(a > c > b\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số mũ \(y = {a^x}\) để so sánh:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(a \) \( = {\left( {{2^2}} \right)^{0,9}} \) \( = {2^{1,8}},b \) \( = {\left( {{2^3}} \right)^{0,5}} \) \( = {2^{1,5}},c \) \( = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{ - 1,6}} \) \( = {2^{1,6}}\)

Vì \(2 > 1\) nên hàm số \(y \) \( = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \(1,8 > 1,6 > 1,5\) nên \({2^{1,8}} > {2^{1,6}} > {2^{1,5}}\) nên \(a > c > b\).

Chọn D

Cho ba số \(a = - {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2},b = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2}\) và \(c = \frac{1}{2}{\log _3}5\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(a < b < c\)

B. \(b < a < c\)

C. \(c < a < b\)

D. \(a < c < b\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số \(y = {\log _a}x\) để so sánh:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\). 

Lời giải chi tiết:

\(a \) \( = - {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2} \) \( = {\log _3}\frac{1}{2},b \) \( = {\log _{\frac{1}{3}}}\frac{1}{2} \) \( = - {\log _3}{2^{ - 1}} \) \( = {\log _3}2,c \) \( = \frac{1}{2}{\log _3}5 \) \( = {\log _3}\sqrt 5 \)

Vì \(3 > 1\) nên hàm số \(y \) \( = {\log _3}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(\frac{1}{2} < 2 < \sqrt 5 \) nên \({\log _3}\frac{1}{2} < {\log _3}2 < {\log _3}\sqrt 5 \). Do đó, \(a < b < c\)

Chọn A

Cho \(0 < a < 1,x = {\log _a}\sqrt 2 + {\log _a}\sqrt 3 ,\) \(y = \frac{1}{2}{\log _a}5,z = {\log _a}\sqrt {14} - {\log _a}\sqrt 2 \). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(x < y < z\)

B. \(y < x < z\)

C. \(z < x < y\)

D. \(z < y < x\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số \(y = {\log _a}x\) để so sánh:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

- So sánh với 0.

Lời giải chi tiết:

\(x = {\log _a}\sqrt 2 + {\log _a}\sqrt 3 = {\log _a}\left( {\sqrt 2 .\sqrt 3 } \right) = {\log _a}\sqrt 6 \), \(y = \frac{1}{2}{\log _a}5 = {\log _a}\sqrt 5 \)

\(z = {\log _a}\sqrt {14} - {\log _a}\sqrt 2 = {\log _a}\frac{{\sqrt {14} }}{{\sqrt 2 }} = {\log _a}\sqrt 7 \)

Vì \(0 < a < 1\) nên hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Mà \(\sqrt 5 < \sqrt 6 < \sqrt 7 \) nên \({\log _a}\sqrt 7 < {\log _a}\sqrt 6 < {\log _a}\sqrt 5 \). Do đó, \(z < x < y\)

Chọn C

Cho ba số \(a = {\log _{\frac{1}{2}}}3,b = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{0,3}},c = {2^{\frac{1}{3}}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. \(a < b < c\)

B. \(a < c < b\)

C. \(c < a < b\)

D. \(b < a < c\)

Phương pháp giải:

- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số \(y = {\log _a}x\) để so sánh:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {\log _a}x\) nghịch biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

- Sử dụng kiến thức về sự biến thiên của hàm số mũ \(y = {a^x}\) để so sánh:

+ Nếu \(a > 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì hàm số \(y = {a^x}\) nghịch biến trên \(\mathbb{R}\).

Lời giải chi tiết:

\(a = {\log _{\frac{1}{2}}}3 = - {\log _2}3,b = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{0,3}} = {2^{ - 0,3}},c = {2^{\frac{1}{3}}}\)

Vì \(2 > 1\) nên hàm số \(y = {2^x}\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\). Mà \( - 0,3 < \frac{1}{3}\) nên \({2^{ - 0,3}} < {2^{\frac{1}{3}}}\)

Hàm số \(y = {a^x}\) luôn nằm phía trên trục hoành nên \({2^{\frac{1}{3}}} > 0,{2^{ - 0,3}} > 0\)

Lại có: \( - {\log _2}3 < 0\)

Do đó, \( - {\log _2}3 < {2^{ - 0,3}} < {2^{\frac{1}{3}}}\) hay \(a < b < c\).

Chọn A

Giải phương trình \({3^{4x}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }}\)

A. \( - \frac{1}{4}\)

B. \( - \frac{3}{8}\)

C. \(\frac{3}{8}\)

D. \(\frac{1}{{12\sqrt 3 }}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình mũ cơ bản để giải phương trình:

\({a^x} = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)

+ Nếu \(b \le 0\) thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu \(b > 0\) thì phương trình có nghiệm duy nhất \(x = {\log _a}b\)

Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({a^x} = {a^\alpha } \Leftrightarrow x = \alpha \), tổng quát hơn: \({a^{u\left( x \right)}} = {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) = v\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\({3^{4x}} = \frac{1}{{3\sqrt 3 }} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 3 } \right)^{2.4x}} = {\left( {\sqrt 3 } \right)^{ - 3}} \Leftrightarrow 8x = - 3 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3}}{8}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x = \frac{{ - 3}}{8}\)

Chọn B

Tập nghiệm của bất phương trình \(0,{3^{3x - 1}} > 0,09\) là

A. \(\left( {1; + \infty } \right)\)

B. \(\left( { - \infty ;1} \right)\)

C. \(\left( { - \infty ; - \frac{1}{3}} \right)\)

D. \(\left( {0;1} \right)\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải bất phương trình chứa mũ để giải bất phương trình:

Bảng tổng kết về nghiệm của các bất phương trình:

Chú ý:

+ Nếu \(a > 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) > v\left( x \right)\)

+ Nếu \(0 < a < 1\) thì \({a^{u\left( x \right)}} > {a^{v\left( x \right)}} \Leftrightarrow u\left( x \right) < v\left( x \right)\)

Lời giải chi tiết:

\(0,{3^{3x - 1}} > 0,09 \Leftrightarrow 0,{3^{3x - 1}} > 0,{3^2} \Leftrightarrow 3x - 1 < 2 \Leftrightarrow 3x < 3 \Leftrightarrow x < 1\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: \(S = \left( { - \infty ;1} \right)\)

Chọn B

Biết rằng \({\log _3}4.{\log _4}8.{\log _8}x = {\log _8}64\). Giá trị của x là

A. \(\frac{9}{2}\)

B. 9

C. 27

D. 81

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).

Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\).

\({\log _3}4.{\log _4}8.{\log _8}x = {\log _8}64 \) \( \Leftrightarrow \frac{{{{\log }_8}4}}{{{{\log }_8}3}}.\frac{{{{\log }_8}8}}{{{{\log }_8}4}}.{\log _8}x = {\log _8}64 \) \( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{\log }_8}3}}{\log _8}x = {\log _8}{8^2}\)

\( \) \( \Leftrightarrow {\log _8}x = 2.{\log _8}3 \) \( \Leftrightarrow {\log _8}x = {\log _8}9 \) \( \Leftrightarrow x = 9\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 9\)

Chọn B

Giải phương trình \({\log _5}\left( {4x + 5} \right) = 2 + {\log _5}\left( {x - 4} \right)\)

A. 9

B. 15

C. 4

D. 5

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).

Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 4\)

\({\log _5}\left( {4x + 5} \right) = 2 + {\log _5}\left( {x - 4} \right) \) \( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4x + 5} \right) = {\log _5}{5^2} + {\log _5}\left( {x - 4} \right)\)

\( \) \( \Leftrightarrow {\log _5}\left( {4x + 5} \right) = {\log _5}25\left( {x - 4} \right) \Leftrightarrow 4x + 5 = 25x - 100 \Leftrightarrow 21x = 105 \Leftrightarrow x = 5\) (tm)

Vậy phương trình có nghiệm là \(x = 5\)

Chọn D

Giả sử \(\alpha \) và \(\beta \) là hai nghiệm của phương trình \({\log _2}x.{\log _2}3x = - \frac{1}{3}\). Khi đó tích \(\alpha \beta \) bằng

A. \(\frac{1}{3}\)

B. 3

C. \(\sqrt 3 \)

D. \({\log _2}3\)

Phương pháp giải:

Sử dụng kiến thức về giải phương trình lôgarit để giải phương trình:

\({\log _a}x = b\left( {a > 0,a \ne 1} \right)\)

Phương trình luôn có nghiệm duy nhất là \(x = {a^b}\).

Chú ý: Với \(a > 0,a \ne 1\) thì \({\log _a}u\left( x \right) = b \Leftrightarrow u\left( x \right) = {a^b}\), \({\log _a}u\left( x \right) = {\log _a}v\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}u\left( x \right) > 0\\u\left( x \right) = v\left( x \right)\end{array} \right.\) (có thể thay \(u\left( x \right) > 0\) bằng \(v\left( x \right) > 0\))

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x > 0\)

\({\log _2}x.{\log _2}3x = - \frac{1}{3} \Leftrightarrow {\log _2}x\left( {{{\log }_2}x + {{\log }_2}3} \right) = - \frac{1}{3}\)

\( \Leftrightarrow 3{\left( {{{\log }_2}x} \right)^2} + 3{\log _2}x.{\log _2}3 + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{\log _2}x = \frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\\{\log _2}x = \frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\left( {tm} \right)}}\\x = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}\left( {tm} \right)}}\end{array} \right.\)

Do đó, tích hai nghiệm là:

\(\alpha .\beta = {2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 + \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}}}{.2^{\frac{{ - 3{{\log }_2}3 - \sqrt {9{{\left( {{{\log }_2}3} \right)}^2} - 12} }}{6}}} = {2^{\frac{{ - 6{{\log }_2}3}}{6}}} = {2^{{{\log }_2}\frac{1}{3}}} = \frac{1}{3}\)

Chọn A