Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Question 1

Câu 1:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức \(z\). Số phức \(\overline z \) là: Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

A
\(2 + i\).
B
\(2 - i\).
C
\(1 + 2i\).
D
\(1 - 2i\).

Answer

\(1 - 2i\).

Question 2

Câu 2:

Tâm \(I\) và bán kính \(R\) của mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x – 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} + {\left( {z – 3} \right)^2} = 9\) là:

A
\(I\left( {1;2;3} \right);R = 3\).
B
\(I\left( {1;2; - 3} \right);R = 3\).
C
\(I\left( {1; - 2;3} \right);R = 3\).
D
\(I\left( { - 1;2; - 3} \right);R = 3\).

Answer

\(I\left( {1; - 2;3} \right);R = 3\).

Question 3

Câu 3:

Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} – 2\)

A
Điểm \(Q( - 1;0)\).
B
Điểm \(P(1;2)\).
C
Điểm \(N(0; - 2)\).
D
Điểm \(M( - 1;2)\).

Answer

Điểm \(N(0; - 2)\).

Question 4

Câu 4:

Bán kính \(R\)của khối cầu có thể tích \(V = \frac{{32\pi {a^3}}}{3}\) là:

A
\(\sqrt 2 a\).
B
\(R = 2a\).
C
\(R = 2\sqrt 2 a\).
D
\(\sqrt[3]{7}a\).

Answer

\(\sqrt 2 a\).

Question 5

Câu 5:

Nguyên hàm \(\int {\sin 2x{\text{d}}x} \) bằng:

A
\( - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).
B
\( - \cos 2x + C\).
C
\(\cos 2x + C\).
D
\(\frac{1}{2}\cos 2x + C\).

Answer

\( - \frac{1}{2}\cos 2x + C\).

Question 6

Câu 6:

Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x{\left( {x + 2} \right)^2},\forall {\text{x}} \in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là

A
\(0\).
B
\(3\).
C
\(1\).
D
\(2\).

Answer

\(T = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)

Answer

\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Answer

\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).

Answer

\(x = 68\).

Answer

\(I = 4\).

Answer

\(w = - 4 - 2i\).

Answer

\(\overrightarrow n = \left( { - 2;3;4} \right)\).

Answer

\(\overrightarrow x = \left( { - 2;\,\, - 1;\,\,19} \right)\)

Answer

\(3 - {\log _3}a\)

Answer

\(y = {x^3} - 3x + 2\).

Answer

\({\vec u_3} = ( - 1;2;1)\).

Answer

\(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).

Answer

\(y' = - {17^{ - x}}\ln 17\).

Answer

\(\left( {0;1} \right)\).

Answer

\(\pi {a^2}\).

Answer

\(I = \frac{5}{8}\).

Answer

\(\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C,C \in R\)

Answer

\(y = - 3\).

Answer

\(x = 2\).

Answer

\(y = x\sqrt {{x^2} + 1} \).

Answer

\(60^\circ \).

Answer

\(x - 2y + z + 4 = 0\).

Answer

\(\frac{{\text{2}}}{{\text{5}}}\).

Answer

\(\frac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).

Answer

\(\frac{{41}}{{126}}\).

Answer

\(\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = - 2 - t \hfill \\ z = 3 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).

Answer

\( - \frac{{104}}{{225}}\).

Answer

\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Answer

\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\).

Answer

\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Answer

\(\frac{{16}}{3}\).

Answer

\(m \in \left( { - 2\,;\, - 1} \right)\).

Answer

\(f\left( 0 \right)\,,\,f\left( 5 \right)\).

Answer

\(\frac{{2\pi + 3\sqrt 3 - 8}}{{12}}\).

Question 7

Câu 7:

Giải bất phương trình \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^{{x^2} – 4}} \geqslant 1\) ta được tập nghiệm \(T\). Tìm \(T\).

A
\(T = \left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
B
\(T = \left( { - \infty ; - 2} \right]\).
C
\(T = \left[ {2; + \infty } \right)\).
D
\(T = \left[ { - 2;2} \right]\).

Question 8

Câu 8:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh bằng \(a\), cạnh bên \(SB\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\), \(SB = 2a\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\).

A
\(\frac{{3{a^3}}}{4}\).
B
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).
C
\(\frac{{{a^3}}}{4}\).
D
\(\frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{2}\).

Question 9

Câu 9:

Tìm tập xác định \(D\) của hàm số \(y = {\left( {{x^2} – 1} \right)^{ – 12}}\).

A
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { \pm 1} \right\}\).
B
\(D = \left( { - \infty ;1} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)\).
C
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\).
D
\(D = \left( { - 1,1} \right)\).

Question 10

Câu 10:

Nghiệm của phương trình \({\log _4}\left( {x – 1} \right) = 3\) là

A
\(x = 66\).
B
\(x = 65\).
C
\(x = 63\).
D
\(x = 68\).

Question 11

Câu 11:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2\); \(\int\limits_1^3 {f\left( x \right){\text{d}}x} = 6\). Tính \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right){\text{d}}x} \).

A
\(I = 4\).
B
\(I = 36\).
C
\(I = 12\).
D
\(I = 8\).

Question 12

Câu 12:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức \(z\). Khi đó số phức \(w = – 2z\) là Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

A
\(w = 4 - 2i\).
B
\(w = 4 + 2i\).
C
\(w = - 4 + 2i\).
D
\(w = - 4 - 2i\).

Question 13

Câu 13:

Cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x – 3y – 4z + 1 = 0\). Khi đó, một véctơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?

A
\(\overrightarrow n = \left( { - 2;3;1} \right)\).
B
\(\overrightarrow n = \left( {2;3; - 4} \right)\).
C
\(\overrightarrow n = \left( {2; - 3;4} \right)\).
D
\(\overrightarrow n = \left( { - 2;3;4} \right)\).

Question 14

Câu 14:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\) cho \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j – \overrightarrow k \), \(\,\overrightarrow b \left( {2;\,\,\,3;\,\, – 7} \right)\). Tìm tọa độ của \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b \)

A
\(\overrightarrow x = \left( { - 2;\,\,3;\,\,19} \right)\)
B
\(\overrightarrow x = \left( { - 2;\,\, - 3;\,\,19} \right)\)
C
\(\overrightarrow x = \left( { - 2;\,\, - 1;\,\,19} \right)\)
D
\(\overrightarrow x = \left( {2;\,\, - 1;\,\,19} \right)\)

Question 15

Câu 15:

Điểm \(M\) trong hình vẽ bên biểu diễn số phức \(z\). Phần ảo của \(z\) bằng Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

A
\(3\).
B
\(5\).
C
\( - 3\).
D
\( - 5\).

Question 16

Câu 16:

Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{{x^2} – 5x + 6}}{{{x^2} – 3x + 2}}\) bằng:

A
\(0\)
B
\(1\)
C
\(3\)
D
\(2\)

Question 17

Câu 17:

Với \(a\) là số thực dương tùy ý, \({\log _3}\left( {\frac{3}{a}} \right)\) bằng:

A
\(3 - {\log _3}a\)
B
\(1 + {\log _3}a\)
C
\(1 - {\log _3}a\)
D
\(\frac{1}{{{{\log }_3}a}}\)

Question 18

Câu 18:

Đường cong trong hình dưới là đồ thị của hàm số nào sau đây? Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

A
\(y = - {x^4} + 2{x^2} - 1\).
B
\(y = {x^3} - 3x + 2\).
C
\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).
D
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).

Question 19

Câu 19:

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d:\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z + 3}}{1}\). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của \(d\)?

A
\({\vec u_2} = (2;1;1)\).
B
\({\vec u_3} = ( - 1;2;1)\).
C
\({\vec u_4} = (1;2; - 3)\).
D
\({\vec u_1} = (2;1; - 3)\).

Question 20

Câu 20:

Một người vào cửa hàng ăn, người đó chọn thực đơn gồm 1 món ăn trong 5 món, 1 loại quả trong 5 loại, 1 loại nước uống trong 3 loại. Hỏi có bao nhiêu cách lập thực đơn?

A
73.
B
75.
C
95.
D
85.

Question 21

Câu 21:

Cho hình lăng trụ đứng có diện tích đáy là \(\sqrt 3 {a^2}\). Độ dài cạnh bên là \(a\sqrt 2 \). Khi đó thể tích của khối lăng trụ là:

A
\(\frac{{\sqrt 6 {a^3}}}{3}\).
B
\(\sqrt 2 {a^3}\).
C
\(\sqrt 3 {a^3}\).
D
\(\sqrt 6 {a^3}\).

Question 22

Câu 22:

Tính đạo hàm của hàm số \(y = {17^{ – x}}\)

A
\(y' = {17^{ - x}}\ln 17\).
B
\(y' = - {17^{ - x}}\).
C
\(y' = - x{.17^{ - x - 1}}\).
D
\(y' = - {17^{ - x}}\ln 17\).

Question 23

Câu 23:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
\(\left( { - 1; + \infty } \right)\).
B
\(\left( { - \infty ; - 1} \right)\).
C
\(\left( { - 1;0} \right)\).
D
\(\left( {0;1} \right)\).

Question 24

Câu 24:

Cho hình trụ có chiều cao bằng \(2a\), bán kính đáy bằng \(a\). Tính diện tích xung quanh của hình trụ.

A
\(2{a^2}\).
B
\(4\pi {a^2}\).
C
\(2\pi {a^2}\).
D
\(\pi {a^2}\).

Question 25

Câu 25:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\)liên tục trên \(\left[ {1;\,4} \right]\)và thỏa mãn \(\int_1^2 {f\left( x \right)dx = \frac{1}{2}} \), \(\int_3^4 {f\left( x \right)dx = \frac{3}{4}} \). Tính giá trị biểu thức \(I = \int_1^4 {f\left( x \right)dx – } \int_2^3 {f\left( x \right)dx} \).

A
\(I = \frac{3}{8}\).
B
\(I = \frac{5}{8}\).
C
\(I = \frac{5}{4}\).
D
\(I = \frac{1}{4}\).

Question 26

Câu 26:

Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) với số hạng đầu \({u_1} = 1\) và công sai \(d{\text{ }} = {\text{ }}3.\) Hỏi số \(34\) là số hạng thứ mấy?

A
\(12\)
B
\(9\)
C
\(11\)
D
\(10\)

Question 27

Câu 27:

Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(y = {x^2} – {3^x} + \frac{1}{x}\).

A
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \frac{1}{{{x^2}}} + C,C \in R\)
B
\(\frac{{{x^3}}}{3} - {3^x} + \frac{1}{{{x^2}}} + C,C \in R\)
C
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + \ln \left| x \right| + C,C \in R\)
D
\(\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} - \ln \left| x \right| + C,C \in R\)

Question 28

Câu 28:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình bên. Giá trị cực đại của hàm số là Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

A
\(y = 1\).
B
\(y = - 1\).
C
\(y = 2\).
D
\(y = - 3\).

Question 29

Câu 29:

Trên đoạn \(\left[ { – 3;2} \right]\), hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} – 10{x^2} + 1\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm

A
\(x = - 3\).
B
\(x = - \sqrt 5 \).
C
\(x = 0\).
D
\(x = 2\).

Question 30

Câu 30:

Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?

A
\(y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\).
B
\(y = {x^4} + 2{x^3} + 7x\).
C
\(y = {x^4} - {x^3} + 2x\).
D
\(y = x\sqrt {{x^2} + 1} \).

Question 31

Câu 31:

Cho a và b là hai số thực dương thỏa mãn \({9^{{{\log }_3}(ab)}} = 4a\). Giá trị của \(a{b^2}\) bằng

A
6.
B
4
C
2
D
\(3\).

Question 32

Câu 32:

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có tất cả các cạnh đều bằng \(a\). Gọi \(I\) và \(J\) lần lượt là trung điểm của \(SC\) và \(BC\). Số đo của góc \(\left( {IJ,CD} \right)\) bằng

A
\(30^\circ \).
B
\(60^\circ \).
C
\(90^\circ \).
D
\(45^\circ \).

Question 33

Câu 33:

Cho \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx = 1} \) tích phân \(\int\limits_0^1 {\left( {2f\left( x \right) – 3{x^2}} \right)dx} \) bằng

A
\(1\).
B
\(0\).
C
\( - 1\).
D
\(3\).

Question 34

Câu 34:

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\frac{{x + 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 3}}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x – y + z – 3 = 0\). Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(O\), song song với \(\Delta \) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) là

A
\(x - 2y + z + 4 = 0\).
B
\(x - 2y + z = 0\).
C
\(x + 2y + z = 0\).
D
\(x + 2y + z - 4 = 0\).

Question 35

Câu 35:

Cho số phức \(z\)thỏa mãn \(z\left( {1 + 2i} \right) = 4 – 3i\). Phần ảo của số phức liên hợp \(\bar z\) của \(z\)bằng

A
\( - \frac{{11}}{5}\).
B
\(\frac{{11}}{5}\).
C
\(\frac{{\text{2}}}{{\text{5}}}\).
D
\( - \frac{2}{5}\).

Question 36

Câu 36:

Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(M\), \(SA = a\sqrt 3 \)và \(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có cạnh \(BC = a\), \(AC = a\sqrt 5 \). Tính theo \(a\) khoảng cách từ A đến \(\left( {SBC} \right)\).

A
\(\frac{{2a\sqrt {21} }}{7}\).
B
\(\frac{{a\sqrt {21} }}{7}.\)
C
\(\frac{{a\sqrt {15} }}{3}\).
D
\(a\sqrt 3 \)

Question 37

Câu 37:

Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các số tự nhiên có \(4\) chữ số đôi một khác nhau và các chữ số thuộc tập hợp \(\left\{ {1,\,\,2,\,\,3,\,\,4,\,\,5,\,\,6,\,\,7,\,\,8,\,\,9} \right\}\). Chọn ngẫu nhiên một số thuộc \(S\), xác suất để số đó không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ bằng

A
\(\frac{{41}}{{126}}\).
B
\(\frac{5}{{21}}\).
C
\(\frac{{31}}{{126}}\).
D
\(\frac{{17}}{{42}}\).

Question 38

Câu 38:

Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(M\left( {1; – 2;3} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x – y + 3z + 1 = 0\). Phương trình của đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(\left( P \right)\) là

A
\(\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = - 2 - t \hfill \\ z = 3 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).
B
\(\left\{ \begin{gathered} x = - 1 + 2t \hfill \\ y = 2 - t \hfill \\ z = - 3 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).
C
\(\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = - 1 - 2t \hfill \\ z = 3 + 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).
D
\(\left\{ \begin{gathered} x = 1 - 2t \hfill \\ y = - 2 - t \hfill \\ z = 3 - 3t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).

Question 39

Câu 39:

Bất phương trình \(\left( {{x^3} – 9x} \right)\ln \left( {x + 5} \right) \leqslant 0\) có bao nhiêu nghiệm nguyên?

A
7.
B
Vô số.
C
4.
D
6.

Question 40

Câu 40:

Biết rằng đồ thị hàm số \(y = f(x)\) được cho như hình vẽ sau Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = {\left[ {f'\left( x \right)} \right]^2} – f''\left( x \right).f\left( x \right)\) và trục \(Ox\) là:

A
\(0\).
B
\(2\).
C
\(6\).
D
\(4\).

Question 41

Câu 41:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) và \(f'\left( x \right) = \sin x.{\sin ^2}2x,\forall x \in \mathbb{R}\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(F\left( 0 \right) = 0\), khi đó \(F\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) bằng

A
\(\frac{{104}}{{225}}\).
B
\( - \frac{{104}}{{225}}\).
C
\(\frac{{121}}{{225}}\).
D
\(\frac{{167}}{{225}}\).

Ta có \(f'\left( x \right) = \sin x.{\sin ^2}2x,\forall x \in \mathbb{R}\) nên \(f\left( x \right)\) là một nguyên hàm của \(f'\left( x \right)\).Có \(\int {f'\left( x \right){\text{d}}x} = \int {\sin x.{{\sin }^2}2x{\text{d}}x} = \int {\sin x.\frac{{1 – \cos 4x}}{2}{\text{d}}x} = \int {\frac{{\sin x}}{2}{\text{d}}x – \int {\frac{{\sin x.\cos 4x}}{2}{\text{d}}x} } \)\( = \frac{1}{2}\int {\sin x} {\text{d}}x – \frac{1}{4}\int {\left( {\sin 5x – \sin 3x} \right){\text{d}}x = – \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{{20}}\cos 5x – \frac{1}{{12}}\cos 3x + C} \).Suy ra \(f\left( x \right) = – \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{{20}}\cos 5x – \frac{1}{{12}}\cos 3x + C,\forall x \in \mathbb{R}\). Mà \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0 \Rightarrow C = 0\).Do đó \(f\left( x \right) = – \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{{20}}\cos 5x – \frac{1}{{12}}\cos 3x,\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó:\(\begin{gathered} F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) – F\left( 0 \right) = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( { – \frac{1}{2}\cos x + \frac{1}{{20}}\cos 5x – \frac{1}{{12}}\cos 3x} \right){\text{d}}x} \hfill \\ = \left. {\left( { – \frac{1}{2}\sin x + \frac{1}{{100}}\sin 5x – \frac{1}{{36}}\sin 3x} \right)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} = – \frac{{104}}{{225}} \hfill \\ \Rightarrow F\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = F\left( 0 \right) – \frac{{104}}{{225}} = 0 – \frac{{104}}{{225}} = – \frac{{104}}{{225}} \hfill \\ \end{gathered} \)

Question 42

Câu 42:

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\), \(AB = 2a\), \(AC = a\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) bằng \(60^\circ \). Tính thể tích của khối chóp \(S.ABC\).

A
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{2}\).
B
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).
C
\(\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{4}\).
D
\(\frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{6}\).

Trong \(\Delta ABC\) kẻ \(CH \bot AB\)\( \Rightarrow CH \bot \left( {SAB} \right)\) \( \Rightarrow CH \bot SB{\kern 1pt} \left( 1 \right)\).\(BC = \sqrt {A{B^2} – A{C^2}} = a\sqrt 3 \),\(BH.BA = B{C^2}\),\( \Rightarrow BH = \frac{{3a}}{2}\), \(CH = \sqrt {B{C^2} – B{H^2}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).Trong \(\Delta SAB\)kẻ \(HK \bot SB\) \( \Rightarrow CK \bot SB{\kern 1pt} \left( 2 \right)\).Từ \(\left( 1 \right),\left( 2 \right)\) \( \Rightarrow HK \bot SB\).Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {SAB} \right)\) và \(\left( {SBC} \right)\) là \(\widehat {CKH} = 60^\circ \).Trong vuông \(\Delta CKH\) có \(HK = CH.\cot 60^\circ = \frac{a}{2}\), \(BK = \sqrt {B{H^2} – H{K^2}} = a\sqrt 2 \). nên \(\frac{{SA}}{{HK}} = \frac{{AB}}{{BK}} = \frac{{2a}}{{a\sqrt 2 }}\)\( \Rightarrow SA = \frac{a}{{\sqrt 2 }}\)
Thể tích hình chóp \(S.ABC\) là \(V = \frac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \frac{1}{3}\frac{a}{{\sqrt 2 }}.\frac{1}{2}.a.\sqrt 3 .a = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}\).

Question 43

Câu 43:

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} + 4az + {b^2} + 2 = 0,\) (\(a,\,\,b\) là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực \(\left( {a;\,b\,} \right)\)sao cho phương trình đó có hai nghiệm \({z_1},\,{z_2}\) thỏa mãn \({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i?\)

A
\(3.\)
B
\(4.\)
C
\(1.\)
D
\(2.\)

Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{ \begin{gathered} {z_1} + {z_2} = – 4a \hfill \\ {z_1}{z_2} = {b^2} + 2\, \hfill \\ \end{gathered} \right.\).Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn\({z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i\)\( \Leftrightarrow {z_1} + 2i{z_2} – 3 – 3i = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {{z_1} + 2i{z_2} – 3 – 3i} \right)\left( {{z_2} + 2i{z_1} – 3 – 3i} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow – 3{z_1}{z_2} – \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 + 3i} \right)\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + 18i + 2i\left( {z_1^2 + z_2^2} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow – 3\left( {{b^2} + 2} \right) + \left( {3 – 9i} \right)\left( { – 4a} \right) + 18i + 2i\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} – 2{z_1}{z_2}} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow – 3\left( {{b^2} + 2} \right) + \left( {3 – 9i} \right)\left( { – 4a} \right) + 18i + 2i\left[ {16{a^2} – 2\left( {{b^2} + 2} \right)} \right] = 0\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} – 3\left( {{b^2} + 2} \right) – 12a = 0 \hfill \\ 36a + 18 + 32{a^2} – 4\left( {{b^2} + 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ 36a + 18 + 32{a^2} + 16a = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ 32{a^2} + 52a + 18 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2} \hfill \\ a = – \frac{9}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2};b = 0 \hfill \\ a = – \frac{9}{8};{b^2} = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2};b = 0 \hfill \\ a = – \frac{9}{8};b = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right..\)Vậy có \(3\) cặp số thực \(\left( {a;\,b\,} \right)\) thỏa mãn bài toán.

Question 44

Câu 44:

Cho hai đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {x = 2 + t} \\ {\begin{array}{*{20}{c}} {y = 1 + t} \\ {z = 1 + t} \end{array}} \end{array}} \right.\) và \(\left( {{d_2}} \right):\frac{x}{1} = \frac{{y – 7}}{{ – 3}} = \frac{z}{{ – 1}}\). Đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) là đường vuông góc chung của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\). Phương trình nào sau đâu là phương trình của \(\left( \Delta \right)\)

A
\(\frac{{x - 3}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ - 1}} = \frac{{z + 3}}{{ - 2}}\).
B
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 2}}\).
C
\(\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ - 2}}\).
D
\(\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 4}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ - 2}}\).

Lấy điểm \(M \in \left( {{d_1}} \right)\): \(M\left( {2 + {t_1};1 + {t_1};1 + {t_1}} \right)\)\(N \in \left( {{d_2}} \right):\) \(N\left( {{t_2};7 – 3{t_2}; – {t_2}} \right)\)\(\overrightarrow {MN} = \left( {{t_2} – {t_1} – 2; – 3{t_2} – {t_1} + 6; – {t_2} – {t_1} – 1} \right)\)Đường thẳng \(MN\) là đường vuông góc chung \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_1}} = 0} \\ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{u_2}} = 0} \end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_2} + {t_1} = 1} \\ {11{t_2} + 3{t_1} = 19} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{t_2} = 2} \\ {{t_1} = – 1} \end{array}} \right.} \right.\)Suy ra \(M\left( {1;0;0} \right),N\left( {2;1; – 2} \right)\) và \(\overrightarrow {MN} \left( {1;1; – 2} \right)\)Phương trình đường thẳng \(\left( \Delta \right)\) đi qua \(M,N\) là: \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}\)

Question 45

Câu 45:

Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(\Delta :\left\{ \begin{gathered} x = – 1 + 2mt \hfill \\ y = – \left( {{m^2} + 1} \right)t \hfill \\ z = \left( {1 – {m^2}} \right)t \hfill \\ \end{gathered} \right.\).Gọi \(\Delta '\) là đường thẳng qua gốc tọa độ \(O\) và song song với \(\Delta \). Gọi \(A,B,C\) lần lượt là các điểm di động trên \(Oz,\Delta ,\Delta '\). Giá trị nhỏ nhất\(AB + BC + CA\) bằng

A
\(\sqrt 2 \).
B
\(2\sqrt 2 \).
C
\(2\).
D
\(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

\(\Delta \) qua điểm \(M\left( { – 1;0;0} \right),\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {2m; – {m^2} – 1;1 – {m^2}} \right),\left[ {\overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right] = \left( {0;1 – {m^2};{m^2} + 1} \right)\).Ta có:\(AB + AC + BC \geqslant BC + BC = 2BC \geqslant 2d\left( {\Delta ,\Delta '} \right) = 2d\left( {O,\Delta } \right) = \frac{{2\left| {\left[ {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_\Delta }} } \right|}}\)\( = \frac{{2\sqrt {{{\left( {1 – {m^2}} \right)}^2} + {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2}} }}{{\sqrt {4{m^2} + {{\left( {{m^2} + 1} \right)}^2} + {{\left( {1 – {m^2}} \right)}^2}} }} = \frac{{2\sqrt {{m^4} + 1} }}{{{m^2} + 1}} = \sqrt 2 .\frac{{\sqrt {\left( {1 + 1} \right)\left( {{m^4} + 1} \right)} }}{{{m^2} + 1}}\)Dấu đạt tại \(\frac{{{m^2}}}{1} = \frac{1}{1} \Leftrightarrow m = \pm 1\), lúc này \(A \equiv C \equiv O\) và \(B\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) lên \(\Delta \)

Question 46

Câu 46:

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) nhận giá trị dương và có đạo hàm liên tục trên \(\left[ {0;3} \right]\) và thoả mãn \(f\left( 0 \right) = 3,f\left( 3 \right) = 8\) và \(\int\limits_0^3 {\frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}}}{{f\left( x \right) + 1}}dx = \frac{4}{3}} \). Giá trị của \(f\left( 2 \right)\) bằng

A
\(\frac{{64}}{9}\).
B
\(\frac{{16}}{3}\).
C
\(\frac{{55}}{9}\).
D
\(\frac{{19}}{3}\).

Ta có \(\int\limits_0^3 {{1^2}dx.\int\limits_0^3 {\frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}}}{{f\left( x \right) + 1}}} dx \geqslant {{\left( {\int\limits_0^3 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }}dx} } \right)}^2}} \).Do đó: \({\int\limits_0^3 {\frac{{{{\left( {f'\left( x \right)} \right)}^2}}}{{f\left( x \right) + 1}}dx \geqslant \frac{1}{3}{{\left( {\int\limits_0^3 {\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }}} } \right)}^2} = \frac{1}{3}\left( {\mathop {\left. {2\sqrt {f\left( x \right) + 1} } \right|}\nolimits_0^3 } \right)} ^2} = \frac{4}{3}{\left( {\sqrt {f\left( 3 \right) + 1} – \sqrt {f\left( 0 \right) + 1} } \right)^2} = \frac{4}{3}\).Vì vậy dấuphải xảy ra tức là \(\frac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right) + 1} }} = k \Rightarrow 2\sqrt {f\left( x \right) + 1} = kx + C\)Vì \(\left\{ \begin{gathered} f\left( 0 \right) = 3 \hfill \\ f\left( 3 \right) = 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} C = 4 \hfill \\ 3k + C = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} k = \frac{2}{3} \hfill \\ C = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow 2\sqrt {f\left( x \right) + 1} = \frac{2}{3}x + 4 \Rightarrow f\left( x \right)\)\( = \frac{1}{4}{\left( {\frac{2}{3}x + 4} \right)^2} – 1 \Rightarrow f\left( x \right) = \frac{{55}}{9}\)

Question 47

Câu 47:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( { – 2} \right) = 3\,,\,f\left( 2 \right) = 2\) và bảng xét dâú đạo hàm như sau: Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Bất phương trình \({3^{f\left( x \right) + m}} \leqslant 4f\left( x \right) + 1 + 4m\) nghiệm đúng với mọi số thực \(x \in \left( { – 2\,;\,2} \right)\) khi và chỉ khi

A
\(m \in \left( { - 2\,;\, - 1} \right)\).
B
\(m \in \left[ { - 2\,;\, - 1} \right]\).
C
\(m \in \left[ { - 2\,;\,3} \right]\).
D
\(m \in \left( { - 2\,;\,3} \right)\).

Có \({3^{f\left( x \right) + m}} \leqslant 4f\left( x \right) + 1 + 4m \Leftrightarrow {3^{f\left( x \right) + m}} – 4\left( {f\left( x \right) + m} \right) – 1 \leqslant 0\).Đặt \(t = f\left( x \right) + m\), bất phương trình trở thành : \({3^t} – 4t – 1 \leqslant 0 \Leftrightarrow 0 \leqslant t \leqslant 2 \Leftrightarrow 0 \leqslant f\left( x \right) + m \leqslant 2.\)Vậy \(ycbt \Leftrightarrow \)\(0 \leqslant f\left( x \right) + m \leqslant 2,\,\forall x \in \left[ { – 2\,;\,2} \right]\).\(\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2\,;\,2} \right]} \left( {f\left( x \right) + m} \right) \geqslant 0 \hfill \\ \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2\,\,;\,2} \right]} \left( {f\left( x \right) + m} \right) \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \mathop {\min }\limits_{\left[ { – 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) + m \geqslant 0 \hfill \\ \mathop {\max }\limits_{\left[ { – 2\,;\,2} \right]} f\left( x \right) + m \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2 + m \geqslant 0 \hfill \\ 3 + m \leqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow – 2 \leqslant m \leqslant – 1. \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \) Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,5} \right]\) như sau: Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Suy ra \({\min _{\left[ {0\,;\,5} \right]}} = f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\,\) Và \({\max _{\left[ {0\,;\,5} \right]}}f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 5 \right)} \right\}\).Ta có \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right) \Leftrightarrow f\left( 5 \right) – f\left( 0 \right) = f\left( 3 \right) – f\left( 2 \right)\).Vì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {2\,;\,5} \right]\) nên \(f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 5 \right) – f\left( 0 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > f\left( 0 \right)\).Vậy \({\max _{\left[ {0\,;\,5} \right]}}f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),\,f\left( 5 \right)} \right\} = f\left( 5 \right)\).

Question 48

Câu 48:

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng xét dấu đạo hàm như sau Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Biết rằng \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right)\). Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm \(y = f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,5} \right]\) lần lượt là

A
\(f\left( 0 \right)\,,\,f\left( 5 \right)\).
B
\(f\left( 5 \right)\,,\,f\left( 2 \right)\).
C
\(f\left( 2 \right)\,,\,f\left( 0 \right)\).
D
\(f\left( 1 \right)\,,\,f\left( 5 \right)\).

Dựa vào bảng xét dấu của \(f'\left( x \right)\) ta có bảng biến thiên của hàm số \(f\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ {0\,;\,5} \right]\) như sau: Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Suy ra \({\min _{\left[ {0\,;\,5} \right]}} = f\left( x \right) = f\left( 2 \right).\,\) Và \({\max _{\left[ {0\,;\,5} \right]}}f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),f\left( 5 \right)} \right\}\).Ta có \(f\left( 0 \right) + f\left( 3 \right) = f\left( 2 \right) + f\left( 5 \right) \Leftrightarrow f\left( 5 \right) – f\left( 0 \right) = f\left( 3 \right) – f\left( 2 \right)\).Vì \(f\left( x \right)\) đồng biến trên đoạn \(\left[ {2\,;\,5} \right]\) nên \(f\left( 3 \right) > f\left( 2 \right) \Rightarrow f\left( 5 \right) – f\left( 0 \right) > 0 \Rightarrow f\left( 5 \right) > f\left( 0 \right)\).Vậy \({\max _{\left[ {0\,;\,5} \right]}}f\left( x \right) = \max \left\{ {f\left( 0 \right),\,f\left( 5 \right)} \right\} = f\left( 5 \right)\).

Question 49

Câu 49:

Cho parabol \(\left( P \right):y = {x^2}\) và đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm thuộc trục tung, bán kính \(1\) tiếp xúc với \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và \(\left( C \right)\) (phần bôi đậm trong hình vẽ bên) bằng Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

A
\(\frac{{4\pi - 3\sqrt 3 }}{{12}}\).
B
\(\frac{{14 - 3\sqrt 3 - 2\pi }}{{12}}\).
C
\(\frac{{9\sqrt 3 - 4\pi }}{{12}}\).
D
\(\frac{{2\pi + 3\sqrt 3 - 8}}{{12}}\).

Gọi \(A\left( {a;{a^2}} \right) \in \left( P \right)\left( {a > 0} \right)\) là điểm tiếp xúc của \(\left( C \right),\left( P \right)\) nằm bên phải trục tung. Phương trình tiếp tuyến của \(\left( P \right)\) tại điểm \(A\)là \({t_A}:y = 2a\left( {x – a} \right) + {a^2}\). Vì \(\left( C \right),\left( P \right)\) tiếp xúc với nhau tại \(A\) nên \({t_A}\)là tiếp tuyến chung tại \(A\) của cả \(\left( C \right),\left( P \right)\). Do đó \(IA \bot {t_A} \Rightarrow IA:y = – \frac{1}{{2a}}\left( {x – a} \right) + {a^2} \Rightarrow I\left( {0;{a^2} + \frac{1}{2}} \right)\).Vì \(IA = 1 \Leftrightarrow {a^2} + \frac{1}{4} = 1 \Leftrightarrow a = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {a > 0} \right) \Rightarrow \left( C \right):{x^2} + {\left( {y – \frac{5}{4}} \right)^2} = 1 \Leftrightarrow y = \frac{5}{4} \pm \sqrt {1 – {x^2}} \).Diện tích hình phẳng cần tính bằng diện tích hình phẳng giới hạn bởi\(\left\{ \begin{gathered} y = {x^2} \hfill \\ y = \frac{5}{4} – \sqrt {1 – {x^2}} \hfill \\ x = – \frac{{\sqrt 3 }}{2};x = \frac{{\sqrt 3 }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \int\limits_{ – \frac{{\sqrt 3 }}{2}}^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}} {\left| {{x^2} – \left( {\frac{5}{4} – \sqrt {1 – {x^2}} } \right)} \right|dx = \frac{{9\sqrt 3 – 4\pi }}{{12}}} \)

Question 50

Câu 50:

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương \(\left( {a;b} \right)\) để đồ thị hàm số \(y = {x^3} + a{x^2} – 3x + b\) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt.

A
\(5\)
B
\(4\)
C
\(1\)
D
Vô số

Ta có:\(y’ = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} + 2ax – 3 = 0\) phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt \(x = \frac{{ – a \pm \sqrt {{a^2} + 9} }}{3}\).Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số là: \(y = \frac{2}{3}\left( { – 3 – \frac{a}{3}} \right)x + b + \frac{a}{3}\).Ta có \({y_{cd}} = y\left( {\frac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 9} }}{3}} \right) = \frac{2}{3}\left( { – 3 – \frac{a}{3}} \right)\left( {\frac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 9} }}{3}} \right) + b + \frac{a}{3} > 0,\forall a,b \in {\mathbb{Z}^ + }\).Do vậy ĐTHS cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi\({y_{ct}} = y\left( {\frac{{ – a – \sqrt {{a^2} + 9} }}{3}} \right) = \frac{2}{3}\left( { – 3 – \frac{a}{3}} \right)\left( {\frac{{ – a + \sqrt {{a^2} + 9} }}{3}} \right) + b + \frac{a}{3} = \frac{{2{a^3} – 2\sqrt {{{\left( {{a^2} + 9} \right)}^3}} + 27\left( {a + b} \right)}}{{27}} < 0\)\( \Leftrightarrow b < g\left( a \right) = \frac{{2\sqrt {{{\left( {{a^2} + 9} \right)}^3}} - 2{a^3} - 27}}{{27}}\).Ta có:\(g'\left( a \right) = \frac{1}{9}\left( {2a\left( {\sqrt {{a^2} + 9} - a} \right) - 9} \right) = \frac{{2a}}{{\sqrt {{a^2} + 9} - a}} - 1 < 0,\forall a \in {\mathbb{Z}^ + }\).Ta có: \(g\left( 1 \right) \approx 1,27;g\left( 2 \right) \approx 0.879.\) Do đó \(a = 1 \Rightarrow b < 1,27 \Rightarrow \left( {a;b} \right) = \left( {1;1} \right);\)nếu \(a \geqslant 2 \Rightarrow b < g\left( a \right) \leqslant g\left( 2 \right) \approx 0,879\) trường hợp này không có cặp sô nguyên dương \(\left( {a;b} \right)\) nào.Như vậy có cặp sô nguyên dương \(\left( {a;b} \right) = \left( {1;1} \right)\) duy nhất.

Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Tổng Quan Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đề Kiểm Tra: Đề Luyện Thi Tốt Nghiệp THPT Năm 2023 Môn Toán Online-Đề 9

Giải thích & Đáp án chi tiết

Tại Sao Cần Quan Tâm Đến Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập?

Cách Tận Dụng Tối Đa Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng

Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập