Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Question 1

Câu 1:

Điểm $M$ trong hình vẽ bên biểu diễn số phức $z$. Tính module của $z$. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$\left| z \right| = 2$.
B
$\left| z \right| = 8$.
C
$\left| z \right| = \sqrt {34} $.
D
$\left| z \right| = 34$.

Answer

$\left| z \right| = 34$.

Question 2

Câu 2:

Trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, mặt cầu $\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} – 4x + 2y – 6z + 4 = 0$ có bán kính $R$ là

A
$R = \sqrt {10} $.
B
$R = \sqrt {53} $.
C
$R = 4\sqrt 2 $.
D
$R = 3\sqrt 7 $.

Answer

$R = 4\sqrt 2 $.

Question 3

Câu 3:

Điểm nào dưới đây không thuộc đồ thị của hàm số $y = – {x^4} + {x^2} – 2$

A
Điểm $Q(0; - 2)$.
B
Điểm $M( - 1;0)$.
C
Điểm $N(1; - 2)$.
D
Điểm $P( - 1; - 2)$.

Answer

Điểm $N(1; - 2)$.

Question 4

Câu 4:

Khối cầu bán kính $R = 2a$ có thể tích là:

A
$\frac{{32\pi {a^3}}}{3}$.
B
$6\pi {a^3}$.
C
$\frac{{8\pi {a^3}}}{3}$.
D
$16\pi {a^2}$.

Answer

$\frac{{32\pi {a^3}}}{3}$.

Question 5

Câu 5:

Tất cả nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{{2x + 3}}$ là

A
$\frac{1}{2}\ln \left( {2x + 3} \right) + C$.
B
$\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
C
$\frac{1}{{\ln 2}}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.
D
$\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Answer

$\frac{1}{2}\ln \left| {2x + 3} \right| + C$.

Question 6

Câu 6:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ xác định trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị hàm số $y = f'\left( x \right)$ là đường cong ở hình bên. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Hỏi hàm số $y = f\left( x \right)$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
$6$.
B
$4$.
C
$5$.
D
$3$.

Answer

$\left[ { - 1; + \infty } \right)$.

Answer

$h = \sqrt 3 a.$

Answer

$D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.

Answer

$\left[ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Answer

$I = - 2$.

Answer

$w = 15 - 20i$.

Answer

$\left( {3; - 1;0} \right)$.

Answer

$\vec d\left( { - 7;0;4} \right)$

Answer

$1 - 2i$.

Answer

$y = - 2$.

Answer

$P = 13$

Answer

$y = {x^3} - 3{x^2} + 1$.

Answer

$\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 2;4;3} \right)$.

Answer

$A_4^2 + A_6^1$.

Answer

$\frac{{{a^3}}}{{12}}$.

Answer

$y' = \frac{{2x\ln 2}}{{{x^2} + 1}}$.

Answer

$\left( {2; + \infty } \right)$.

Answer

$S = 3\pi {a^2}$.

Answer

$\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 13$.

Answer

${u_1} = \frac{1}{9}$.

Answer

$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}2x + 2\ln x + C$.

Answer

$y = - 3$.

Answer

$x = 2$.

Answer

$y = {x^4} - 3{x^2} + 5$.

Answer

$a = 6b$.

Answer

$90^\circ $.

Answer

$S = \frac{3}{4}$.

Answer

$\left( P \right):2x + y - 6 = 0$.

Answer

$\frac{{\sqrt {57} a}}{{19}}$.

Answer

$\frac{4}{9}$.

Answer

$\left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 1 + 2t \hfill \\ z = - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Answer

$10000$.

Answer

$ - \frac{{21}}{8}$.

Answer

$V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.

Answer

$\frac{{x - 1}}{2} = \,\frac{{y + 1}}{1}\, = \,\frac{{z - 3}}{3}$.

Answer

$V = \frac{{120{a^3}}}{{27}}$.

Answer

$\frac{{\sqrt {129} }}{2}$.

Answer

${\text{2005}}$.

Answer

$\left( {\frac{2}{5};\frac{1}{2}} \right)$.

Question 7

Câu 7:

Tập nghiệm của bất phương trình ${\left( {\frac{1}{2}} \right)^x} \geqslant 2$ là:

A
$\left[ { - 1; + \infty } \right)$.
B
$\left( { - \infty ; - 1} \right]$.
C
$\left( { - \infty ; - 1} \right)$.
D
$\left( { - 1; + \infty } \right)$.

Question 8

Câu 8:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và thể tích bằng ${a^3}$.Tính chiều cao $h$ của hình chóp đã cho.

A
$h = 3a.$
B
$h = 2a.$
C
$h = \sqrt 3 a.$
D
$h = a.$

Question 9

Câu 9:

Tìm tập xác định $D$ của hàm số $y = {\left( {{x^2} + 2x – 3} \right)^{\sqrt 2 }}$.

A
$D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 3;1} \right\}$.
B
$D = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left( {1; + \infty } \right)$.
C
$D = \left( {0; + \infty } \right)$.
D
$D = \mathbb{R}$.

Question 10

Câu 10:

Phương trình ${\log _3}\left( {{x^2} – 10x + 9} \right) = 2$ có nghiệm là:

A
$\left[ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
B
$\left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
C
$\left[ \begin{gathered} x = - 2 \hfill \\ x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
D
$\left[ \begin{gathered} x = 10 \hfill \\ x = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Question 11

Câu 11:

Cho $\int\limits_1^2 {f\left( x \right){\text{d}}x = – 3} $, $\int\limits_2^5 {f\left( x \right){\text{d}}x = 5} $ và $\int\limits_1^5 {g\left( x \right){\text{d}}x = 6} $. Tính tích phân $I = \int\limits_1^5 {\left[ {2.f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right]{\text{d}}x} $.

A
$I = - 2$.
B
$I = 10$.
C
$I = 4$.
D
$I = 8$.

Question 12

Câu 12:

Điểm $M$ trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn của số phức $z$. Khi đó số phức $w = 5\bar z$ là Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$w = 15 + 20i$.
B
$w = 15 + 20i$.
C
$w = 15 - 20i$.
D
$w = - 15 - 20i$.

Question 13

Câu 13:

Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ có phương trình $3x – z + 1 = 0$. Véctơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ có tọa độ là

A
$\left( {3; - 1;0} \right)$.
B
$\left( {3; - 1;1} \right)$.
C
$\left( { - 3;1;1} \right)$.
D
$\left( {3;0; - 1} \right)$.

Question 14

Câu 14:

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho ba vecto $\vec a\left( {1;2;3} \right);\vec b\left( {2;2; – 1} \right);\vec c\left( {4;0; – 4} \right)$. Tọa độ của vecto $\vec d = \vec a – \vec b + 2\vec c$ là

A
$\vec d\left( { - 7;0; - 4} \right)$
B
$\vec d\left( { - 7;0;4} \right)$
C
$\vec d\left( {7;0;4} \right)$
D
$\vec d\left( {7;0; - 4} \right)$

Question 15

Câu 15:

Trong hình vẽ bên, điểm M biểu diễn số phức $z$. Số phức $\overline z $ là: Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$2 - i$.
B
$1 + 2i$.
C
$2 + i$.
D
$1 - 2i$.

Question 16

Câu 16:

Tìm đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3 – 2x}}{{x – 2}}$

A
$y = 3$.
B
$y = - 2$.
C
$x = 2$.
D
$x = - 2$.

Question 17

Câu 17:

Cho ${\log _a}b = 2$ và ${\log _a}c = 3$. Tính $P = {\log _a}\left( {{b^2}{c^3}} \right)$.

A
$P = 13$
B
$P = 31$
C
$P = 30$
D
$P = 108$

Question 18

Câu 18:

Đồ thị như hình vẽ là của hàm số Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$y = {x^4} + 3{x^2} + 1$.
B
$y = {x^3} - 3{x^2} + 1$.
C
$y = - \frac{{{x^3}}}{3} + {x^2} + 1$.
D
$y = 3{x^2} + 2x + 1$.

Question 19

Câu 19:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\frac{x}{{ – 1}} = \frac{{y – 4}}{2} = \frac{{z – 3}}{3}$. Hỏi trong các vectơ sau, đâu không phải là vectơ chỉ phương của $d$?

A
$\overrightarrow {{u_2}} = \left( {3; - 6; - 9} \right)$.
B
$\overrightarrow {{u_3}} = \left( {1; - 2; - 3} \right)$.
C
$\overrightarrow {{u_1}} = \left( { - 1;2;3} \right)$.
D
$\overrightarrow {{u_4}} = \left( { - 2;4;3} \right)$.

Question 20

Câu 20:

Một tổ có $4$ học sinh nam và $6$ học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra $3$ học sinh trong đó có $2$học sinh nam?

A
$C_4^2.C_6^1$.
B
$A_4^2 + A_6^1$.
C
$A_4^2.A_6^1$.
D
$C_4^2 + C_6^1$.

Question 21

Câu 21:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ biết tam giác $ABC$ vuông cân tại $A,\,\,\,AB = 2AA' = a$. Thể tích khối lăng trụ đã cho là:

A
${a^3}$.
B
$\frac{{{a^3}}}{4}$.
C
$\frac{{{a^3}}}{{12}}$.
D
$\frac{{{a^3}}}{2}$.

Question 22

Câu 22:

Đạo hàm của hàm số $y = {\log _2}\left( {{x^2} + 1} \right)$ là:

A
$y' = \frac{{\ln 2}}{{{x^2} + 1}}$.
B
$y' = \frac{{2x\ln 2}}{{{x^2} + 1}}$.
C
$y' = \frac{{2x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\ln 2}}$.
D
$y' = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}$.

Question 23

Câu 23:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$. Hàm số $y = f'\left( x \right)$ có đồ thị như hình vẽ. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Hàm số $y = f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A
$\left( { - \infty ;1} \right)$.
B
$\left( { - 1;1} \right)$.
C
$\left( {2; + \infty } \right)$.
D
$\left( {1;4} \right)$.

Question 24

Câu 24:

Biết thiết diện qua trục của một hình trụ là hình vuông cạnh $a$, tính diện tích toàn phần $S$ của hình trụ đó.

A
$S = 3\pi {a^2}$.
B
$S = \frac{3}{2}\pi {a^2}$.
C
$S = \pi {a^2}$.
D
$S = \frac{5}{4}\pi {a^2}$.

Question 25

Câu 25:

Cho biết $\int\limits_0^3 {f\left( x \right)} {\text{d}}x = 3,\,\,\int\limits_0^5 {f\left( t \right)} {\text{d}}t = 10$. Tính $\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z$.

A
$\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 7$.
B
$\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 13$.
C
$\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = 14$.
D
$\int\limits_3^5 {2f\left( z \right)} {\text{d}}z = - 7$.

Question 26

Câu 26:

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_4} = 1$; $q = 3$. Tìm ${u_1}$?

A
${u_1} = 27$.
B
${u_1} = 9$.
C
${u_1} = \frac{1}{{27}}$.
D
${u_1} = \frac{1}{9}$.

Question 27

Câu 27:

Biết $\int {f\left( {2x} \right){\text{d}}x} = {\sin ^2}x + \ln x + C$. Tìm nguyên hàm $\int {f\left( x \right){\text{d}}x} $?

A
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}x + 2\ln x + C$.
B
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}\frac{x}{2} + 2\ln x + C$.
C
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = 2{\sin ^2}2x + 2\ln x + C$.
D
$\int {f\left( x \right){\text{d}}x} = {\sin ^2}\frac{x}{2} + \ln x + C$.

Question 28

Câu 28:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ có đồ thị như hình bên. Giá trị cực tiểu của hàm số là Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$y = - 1$.
B
$y = 2$.
C
$y = - 3$.
D
$y = 1$.

Question 29

Câu 29:

Trên đoạn $\left[ { – 2;1} \right]$, hàm số $y = {x^3} – 2{x^2} – 7x + 1$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm

A
$x = 0$.
B
$x = - 3$.
C
$x = - 1$.
D
$x = 2$.

Question 30

Câu 30:

Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

A
$y = - {x^4} + 2{x^2} - 2$.
B
$y = - {x^3} + {x^2} - 2x - 1$.
C
$y = {x^4} - 3{x^2} + 5$.
D
$y = - {x^3} - 3{x^2} + 4$.

Question 31

Câu 31:

Với $a,\,\,b$ là các số thực dương tùy ý thỏa mãn ${\log _3}a – 2{\log _9}b = 2$, mệnh đề nào dưới đây đúng?

A
$a = 9b$.
B
$a = 6b$.
C
$a = 9{b^2}$.
D
$a = 9{b^2}$.

Question 32

Câu 32:

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$, biết đáy $ABCD$ là hình vuông. Tính góc giữa $A'C$ và $BD$. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$90^\circ $.
B
$60^\circ $.
C
$30^\circ $.
D
$45^\circ $.

Question 33

Câu 33:

Biết $\int\limits_1^e {\frac{{\ln x}}{{x\sqrt {1 + \ln x} }}dx = a + b\sqrt 2 } $ với $a,b$ là các số hữu tỷ. Tính $S = a + b$.

A
$S = \frac{2}{3}$.
B
$S = 1$.
C
$S = \frac{1}{2}$.
D
$S = \frac{3}{4}$.

Question 34

Câu 34:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng chéo nhau ${d_1}:\frac{{x – 2}}{2} = \frac{{y – 6}}{{ – 2}} = \frac{{z + 2}}{1}$ và ${d_2}:\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z + 2}}{{ – 2}}$. Phương trình mặt phẳng $\left( P \right)$ chứa ${d_1}$ và $\left( P \right)$song song với đường thẳng ${d_2}$ là

A
$\left( P \right):2x + y - 6 = 0$.
B
$\left( P \right):x + 4y + 6z - 12 = 0$.
C
$\left( P \right):x + 5y + 8z + 16 = 0$.
D
$\left( P \right):x + 5y + 8z - 16 = 0$.

Question 35

Câu 35:

Tổng phần thực và phần ảo của số phức $z$ thoả mãn $iz + \left( {1 – i} \right)\bar z = – 2i$ bằng

A
$6$
B
$2$
C
$ - 6$
D
$ - 2$

Question 36

Câu 36:

Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác đều cạnh $a$ và $AA' = 2a$. Gọi $M$là trung điểm của $CC'$ (tham khảo hình bên). Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left( {A'BC} \right)$ bằng Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$\frac{{a\sqrt 5 }}{5}$.
B
$\frac{{2\sqrt 5 a}}{5}$.
C
$\frac{{2\sqrt {57} a}}{{19}}$.
D
$\frac{{\sqrt {57} a}}{{19}}$.

Question 37

Câu 37:

Chọn ngẫu nhiên một số từ tập hợp số có ba chữ số khác nhau. Xác suất để số được chọn có tổng các chữ số là số chẳn bằng

A
$\frac{4}{9}$.
B
$\frac{{41}}{{81}}$.
C
$\frac{{16}}{{81}}$.
D
$\frac{1}{2}$.

Question 38

Câu 38:

Trong không gian ${\text{Ox}}yz$, cho điểm $A\left( {2;0; – 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):\,x + y – 1 = 0$. Đường thẳng đi qua $A$ đồng thời song song với $\left( P \right)$ và mặt phẳng $\left( {{\text{Ox}}y} \right)$ có phương trình là

A
$\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = - t \hfill \\ z = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
B
$\left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 1 + 2t \hfill \\ z = - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
C
$\left\{ \begin{gathered} x = 3 + t \hfill \\ y = 2t \hfill \\ z = 1 - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.
D
$\left\{ \begin{gathered} x = 1 + 2t \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ z = - t \hfill \\ \end{gathered} \right.$.

Question 39

Câu 39:

Cho bất phương trình $\left( {\log x + 1} \right)\left( {4 – \log x} \right) > 0$. Có bao nhiêu số nguyên $x$ thoả mãn bất phương trình trên.

A
$9999$.
B
$9998$.
C
$10001$.
D
$10000$.

Question 40

Câu 40:

Cho hàm số $y = f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và có đồ thị như hình vẽ bên. Phương trình $f\left( {f\left( x \right) – 1} \right) = 0$ có tất cả bao nhiêu nghiệm thực phân biệt? Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

A
$4$.
B
$6$.
C
$5$.
D
$7$.

Question 41

Câu 41:

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{27}}{8}$ và$f'\left( x \right) = 12\sin 2x.{\cos ^2}3x,\forall x \in \mathbb{R}$. Biết $F\left( x \right)$ là nguyên hàm của $f\left( x \right)$ thỏa mãn $F\left( 0 \right) = 0$, khi đó $F\left( \pi \right)$ bằng

A
$0$.
B
$ - \frac{{87}}{{64}}$.
C
$ - \frac{{21}}{8}$.
D
$\frac{{87}}{{64}}$.

Ta có $f'\left( x \right) = 12\sin 2x.{\cos ^2}3x,\forall x \in \mathbb{R}$ nên $f\left( x \right)$ là một nguyên hàm của $f'\left( x \right)$.Có $\int {f'\left( x \right){\text{d}}x} = \int {12\sin 2x.{{\cos }^2}3x{\text{d}}x} = \int {12.\sin 2x.\frac{{1 + \cos 6x}}{2}{\text{d}}x} = \int {6.\sin 2x{\text{d}}x + \int {6\sin 2x.\cos 6x{\text{d}}x} } $$ = 6\int {\sin 2x} {\text{d}}x + 3\int {\left( {\sin 8x – \sin 4x} \right){\text{d}}x = – 3\cos 2x – \frac{3}{8}\cos 8x + \frac{3}{4}\cos 4x + C} $.Suy ra$f\left( x \right) = – 3\cos 2x – \frac{3}{8}\cos 8x + \frac{3}{4}\cos 4x + C$. Mà $f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \frac{{27}}{8} \Rightarrow C = 0$.Do đó. Khi đó:$\begin{gathered} F\left( \pi \right) – F\left( 0 \right) = \int\limits_0^\pi {f\left( x \right){\text{d}}x} = \int\limits_0^\pi {\left( { – 3\cos 2x – \frac{3}{8}\cos 8x + \frac{3}{4}\cos 4x} \right){\text{d}}x} \hfill \\ = \left. {\left( { – \frac{3}{2}\sin 2x – \frac{3}{{64}}\sin 8x + \frac{3}{{16}}\sin 4x} \right)} \right|_0^\pi = 0 \hfill \\ \Rightarrow F\left( \pi \right) = F\left( 0 \right) + 0 = – \frac{{21}}{8} + 0 = – \frac{{21}}{8} \hfill \\ \end{gathered} $

Question 42

Câu 42:

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, $SA$ vuông góc với đáy$ABCD$, góc giữa hai mặt phẳng $\left( {SBD} \right)$ và $ABCD$ bằng ${60^0}$. Gọi $M\,,\,N$ lần lượt là trung điểm của $SB\,,\,SC$. Tính thể tích khối chóp $S.ADNM$.

A
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.
B
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{8}$.
C
$V = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{24}}$.
D
$V = \frac{{3{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.

Gọi $O = AC \cap BD$.$AO \bot BD \Rightarrow SO \bot BD$. Nên góc của $\left( {SBD} \right)$ và $ABCD$ là góc $\widehat {SOA} = {60^0}$.${V_{S.ADN}} = \frac{1}{2}.{V_{S.ADC}} = \frac{1}{4}.{V_{S.ABCD}}$ và ${V_{S.AMN}} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}{V_{S.ABC}} = \frac{1}{8}{V_{S.ABCD}}$.$ \Rightarrow {V_{S.ADMN}} = {V_{S.ADN}} + {V_{S.AMN}} = \frac{3}{8}{V_{S.ABCD}}$.$SA = AO.\tan \widehat {SOA} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$ $ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}$.$ \Rightarrow {V_{S.ADMN}} = \frac{3}{8}.\frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{16}}$.

Question 43

Câu 43:

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2} + 4az + {b^2} + 2 = 0,$ ($a,\,\,b$ là các tham số thực). Có bao nhiêu cặp số thực $\left( {a;\,b\,} \right)$sao cho phương trình đó có hai nghiệm ${z_1},\,{z_2}$ thỏa mãn ${z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i?$

A
$4.$
B
$1.$
C
$3.$
D
$2.$

Theo định lý Vi-ét, ta có: $\left\{ \begin{gathered} {z_1} + {z_2} = – 4a \hfill \\ {z_1}{z_2} = {b^2} + 2\, \hfill \\ \end{gathered} \right.$.Theo yêu cầu bài toán, phương trình đã cho có hai nghiệm ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn${z_1} + 2i{z_2} = 3 + 3i$$ \Leftrightarrow {z_1} + 2i{z_2} – 3 – 3i = 0$$ \Leftrightarrow \left( {{z_1} + 2i{z_2} – 3 – 3i} \right)\left( {{z_2} + 2i{z_1} – 3 – 3i} \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 3{z_1}{z_2} – \left( {1 + 2i} \right)\left( {3 + 3i} \right)\left( {{z_1} + {z_2}} \right) + 18i + 2i\left( {z_1^2 + z_2^2} \right) = 0$$ \Leftrightarrow – 3\left( {{b^2} + 2} \right) + \left( {3 – 9i} \right)\left( { – 4a} \right) + 18i + 2i\left[ {{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)}^2} – 2{z_1}{z_2}} \right] = 0$$ \Leftrightarrow – 3\left( {{b^2} + 2} \right) + \left( {3 – 9i} \right)\left( { – 4a} \right) + 18i + 2i\left[ {16{a^2} – 2\left( {{b^2} + 2} \right)} \right] = 0$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} – 3\left( {{b^2} + 2} \right) – 12a = 0 \hfill \\ 36a + 18 + 32{a^2} – 4\left( {{b^2} + 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ 36a + 18 + 32{a^2} + 16a = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ 32{a^2} + 52a + 18 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {b^2} + 2 = – 4a \hfill \\ \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2} \hfill \\ a = – \frac{9}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2};b = 0 \hfill \\ a = – \frac{9}{8};{b^2} = \frac{5}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = – \frac{1}{2};b = 0 \hfill \\ a = – \frac{9}{8};b = \pm \frac{{\sqrt {10} }}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right..$Vậy có $3$ cặp số thực $\left( {a;\,b\,} \right)$ thỏa mãn bài toán.

Question 44

Câu 44:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {1; – 1;3} \right)$ và hai đường thẳng:${d_1}:\frac{{x – 4}}{1}\, = \,\frac{{y + 2}}{4}\, = \,\frac{{z – 1}}{{ – 2}},\,\,{d_2}:\,\frac{{x – 2}}{1}\, = \,\frac{{y + 1}}{{ – 1}}\, = \,\frac{{z – 1}}{1}$. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A$,vuông góc với đường thẳng ${d_1}$ và cắt đường thẳng ${d_2}$.

A
$\frac{{x - 1}}{2} = \,\frac{{y + 1}}{1}\, = \,\frac{{z - 3}}{3}$.
B
$\frac{{x - 1}}{2} = \,\frac{{y + 1}}{{ - 1}}\, = \,\frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.
C
$\frac{{x - 1}}{6} = \,\frac{{y + 1}}{1}\, = \,\frac{{z - 3}}{5}$.
D
$\frac{{x - 1}}{6} = \,\frac{{y + 1}}{{ - 4}}\, = \,\frac{{z - 3}}{{ - 1}}$.

Ta có: ${\overrightarrow u _{{d_1}}} = \left( {1;4; – 2} \right)$${d_2}:\frac{{x – 2}}{1}\, = \,\frac{{y + 1}}{{ – 1}}\, = \frac{{z – 1}}{1}$ nên phương trình tham số của ${d_2}:\left\{ \begin{gathered} x = 2 + t \hfill \\ y = – 1 – t \hfill \\ z = 1 + t \hfill \\ \end{gathered} \right.\,\,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$Gọi đường thẳng $d$ cắt đường thẳng ${d_2}$ tại $M\left( {2 + t; – 1 – t;1 + t} \right)$Ta có: $\overrightarrow {AM} = \left( {1 + t; – t;t – 2} \right)$Đường thẳng $d$ đi qua $A;M$ nên vectơ chỉ phương ${\overrightarrow u _d} = \left( {1 + t; – t;t – 2} \right)$Theo đề bài $d$ vuông góc ${d_1}$ $ \Rightarrow {\overrightarrow u _d} \bot {\overrightarrow u _{{d_1}}} \Leftrightarrow {\overrightarrow u _d}.{\overrightarrow u _{{d_1}}} = 0 \Leftrightarrow 1.\left( {1 + t} \right) + 4\left( { – t} \right) – 2\left( {t – 2} \right) = 0 \Leftrightarrow t = 1$$ \Rightarrow {\overrightarrow u _d} = \left( {2; – 1; – 1} \right)$Phương trình đường thẳng $d$ đi qua $A\left( {1; – 1;3} \right)$ và có ${\overrightarrow u _d} = \left( {2; – 1; – 1} \right)$ có dạng:$\frac{{x – 1}}{2}\, = \,\frac{{y + 1}}{{ – 1}}\, = \,\frac{{z – 3}}{{ – 1}}$.

Question 45

Câu 45:

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = 3a,AC = 4a,AD = 5a.$ Gọi $M,N,P$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $DAB,$ $DBC,$ $DCA.$ Tính thể tích V của tứ diện $DMNP$ khi thể tích tứ diện $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất.

A
${\text{V = }}\frac{{20{a^3}}}{{27}}.$
B
${\text{V = }}\frac{{80{a^3}}}{7}$.
C
${\text{V = }}\frac{{10{a^3}}}{4}$.
D
$V = \frac{{120{a^3}}}{{27}}$.

Ta có: $\frac{{{V_{D.MNP}}}}{{{V_{D.HIK}}}} = \frac{{DM}}{{DH}}.\frac{{DN}}{{DI}}.\frac{{DP}}{{DK}} = {\left( {\frac{2}{3}} \right)^3} \Rightarrow {V_{D.MNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{D.HIK}} = \frac{8}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{D.ABC}} = \frac{2}{{27}}.{V_{D.ABC}}$Ta có: ${V_{D.ABC}} = \frac{1}{3}.{S_{ABC}}.SH = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.AB.AC.sinA.DE \leqslant \frac{1}{6}AB.AC.DE$($DE$ là đường cao của hình chóp $D.ABC$ )
Dấu bằng xảy ra khi: $DA = DE$ và $ BAC=900

Question 46

Câu 46:

Cho hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ bên Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Hàm số $g\left( x \right) = \left| {f\left( {xf\left( x \right)} \right) + \frac{3}{4}} \right|$ có bao nhiêu điểm cực trị?

A
$13$.
B
$12$.
C
$14$.
D
$15$.

Xét $u\left( x \right) = f\left( {xf\left( x \right)} \right) + \frac{3}{4}$.
Ta có: $f\left( x \right) + \frac{3}{4} = \frac{7}{{16}}x{\left( {x – 3} \right)^2} \Rightarrow u\left( x \right) = f\left( {xf\left( x \right)} \right) + \frac{3}{4} = \frac{7}{{16}}xf\left( x \right){\left( {xf\left( x \right) – 3} \right)^2}$ có 4 lần đổi dấu
Xét $u'\left( x \right) = \left( {f\left( x \right) + xf'\left( x \right)} \right)f'\left( {xf\left( x \right)} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} f\left( x \right) + xf'\left( x \right) = 0 \Rightarrow 3{n_0}\;\left( 1 \right) \hfill \\ xf\left( x \right) = 1 \Rightarrow 4{n_0}\;\left( 2 \right) \hfill \\ xf\left( x \right) = 3 \Rightarrow 2{n_0}\;\left( 3 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có $9$ lần đổi dấu.
Thật vậy:$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \frac{7}{{16}}{x^3} – \frac{{21}}{8}{x^2} + \frac{{63}}{{16}}x – \frac{3}{4} + x\left( {\frac{{21}}{{16}}{x^2} – \frac{{21}}{4}x + \frac{{63}}{{16}}} \right) = 0 \Rightarrow 3{n_0}$.$\left( 2 \right) \Leftrightarrow x\left( {\frac{7}{{16}}{x^3} – \frac{{21}}{8}{x^2} + \frac{{63}}{{16}}x – \frac{3}{4}} \right) – 1 = 0 \Rightarrow 4{n_0}$Và $\left( 3 \right) \Leftrightarrow x\left( {\frac{7}{{16}}{x^3} – \frac{{21}}{8}{x^2} + \frac{{63}}{{16}}x – \frac{3}{4}} \right) – 3 = 0 \Rightarrow 2{n_0}$.
Do đó: $u\left( x \right)$ có 9 điểm cực trị
Vậy hàm số $g\left( x \right) = \left| {u\left( x \right)} \right|$ có $9 + 4 = 13$ điểm cực trị.

Question 47

Câu 47:

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z – 2} \right)^2} = 9$ và hai điểm $A\left( {1;3;2} \right)$, $B\left( {9; – 3;4} \right)$. Gọi $\left( P \right)$, $\left( Q \right)$ là hai mặt phẳng phân biệt cùng chứa $AB$ và tiếp xúc với $\left( S \right)$ tại $M$ và $N$. Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABMN$ bằng

A
$\frac{{\sqrt {129} }}{2}$.
B
$\sqrt {51} $.
C
$\sqrt {26} $.
D
$\frac{{\sqrt {4874} }}{7}$.

Mặt cầu có tâm $I\left( { – 2; – 1;2} \right)$, $R = 3$.Ta có . Đường thẳng $AB:\frac{{x – 5}}{4} = \frac{y}{{ – 3}} = \frac{{z – 3}}{1}$.Gọi $H = AB \cap \left( {IMN} \right)$ khi đó $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {IM \bot \left( P \right) \supset AB} \\ {IN \bot \left( Q \right) \supset AB} \end{array} \Rightarrow AB \bot \left( {IMN} \right)} \right.$.Do đó $H\left( {1;3;2} \right)$ là tọa độ hình chiếu vuông góc của $I$ trên đường thẳng $AB$. Dễ thấy $H \equiv A$ và $IA \bot MN$ tại trung điểm $K$ của $MN$.Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có$IK.IA = I{M^2} = {R^2} = 9 \Leftrightarrow IK = \frac{9}{{IA}} = \frac{9}{5} \Rightarrow AK = IA – IK = 5 – \frac{9}{5} = \frac{{16}}{5}$.$MN = 2MK = 2\sqrt {{R^2} – I{K^2}} = 2\sqrt 9 $.Hình chóp $.AMN$ có cạnh bên $BA$ vuông góc với đáy nên ${R_{ABMN}} = \sqrt {R_{AMN}^2 + A{B^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sqrt {104} }}{2}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt {129} }}{2}$.Trong đó ${R_{AMN}} = {R_{IMN}} = \frac{{MN}}{{2\sin \widehat {MIN}}} = \frac{{\frac{{24}}{5}}}{{2\sqrt {1 – {{\left( {\frac{{{3^2} + {3^2} – {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}}}{{2.3.3}}} \right)}^2}} }} = \frac{5}{2}$ (do tứ giác $IMAN$nội tiếp).

Question 48

Câu 48:

Có bao nhiêu số nguyên $m \in \left[ {2;2023} \right]$ để tồn tại hai cặp số thực $\left( {x;y} \right)$ thoả mãn ${x^2} + {y^3} = m$ và ${\log _2}x{\log _3}y = 1$?

A
${\text{2019}}$.
B
${\text{2007}}$.
C
${\text{2005}}$.
D
${\text{2004}}$.

Đặt $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\log }_2}x = t} \\ {{{\log }_3}y = \frac{1}{t}} \end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{r}} {x = {2^t}} \\ {y = {3^{\frac{1}{t}}}} \end{array} \Rightarrow m = g\left( t \right) = {4^t} + {{27}^{\frac{1}{t}}}} \right.} \right.$.Ta có $g'\left( t \right) = {4^t}\ln 4 – \frac{1}{{{t^2}}}{27^{\frac{1}{t}}}\ln 27$.$g''\left( t \right) = {4^t}{\ln ^2}4 + \frac{2}{{{t^3}}}{27^{\frac{1}{t}}}\ln 27 + \frac{1}{{{t^4}}}{27^{\frac{1}{t}}}{\ln ^2}27 > 0,\forall t > 0$
Nếu $t < 0 \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {0 < x < 1} \\ {0 < y < 1} \end{array} \Rightarrow {x^2} + {y^3} < 1 + 1 = 2 \leqslant m} \right.$ (loại). Nếu $t > 0 \Rightarrow g'\left( t \right) = 0$ có đúng một nghiệm $t = {t_0} \approx 1,5419$; $g\left( {{t_0}} \right) \approx 16,9568$.
Suy ra $m \in \left\{ {17, \ldots ,2023} \right\}$.
Vậy có 2007 số nguyên thỏa mãn

Question 49

Câu 49:

Cho $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ sau Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Có bao nhiêu cặp số nguyên dương $\left( {a;b} \right)$ thỏa mãn $a + b \leqslant 16$ để phương trình $f\left( {a{x^2} – 1} \right) = \frac{1}{{bx}}$ có đúng 7 nghiệm thực phân biệt

A
$96$.
B
$89$.
C
$101$.
D
$99$.

Đặt $t = a{x^2} – 1$ $\left( {t > – 1} \right)$$ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{1}{a}\left( {t + 1} \right)$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {t + 1} ,\,\left( {x > 0} \right) \hfill \\ x = – \frac{1}{{\sqrt a }}\sqrt {t + 1} ,\,\left( {x < 0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} f\left( t \right) = \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {t + 1} }} \hfill \\ f\left( t \right) = - \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {t + 1} }} \hfill \\ \end{gathered} \right.$.Vẽ thêm đồ thị hai hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {x + 1} }}$; $h\left( x \right) = - \frac{{\sqrt a }}{{b\sqrt {x + 1} }}$. Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Vậy phương trình có 7 nghiệm khi và chỉ khi $\left\{ \begin{gathered} g\left( 1 \right) < 1 \hfill \\ h\left( 3 \right) > \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{{\sqrt a }}{{\sqrt 2 b}} < 1 \hfill \\ - \frac{{\sqrt a }}{{2b}} > – \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right.$$ \Leftrightarrow \sqrt a < \sqrt 2 b$$ \Leftrightarrow a < 2{b^2}$.+ Nếu $2{b^2} > 15$$ \Rightarrow b \in \left\{ {3;…;15} \right\}$$ \Rightarrow a \in \left\{ {1;…;16 – b} \right\}$$ \Rightarrow \sum\limits_{b = 3}^{15} {\left( {16 – b} \right)} = 91$ cặp.+) Nếu $2{b^2} \leqslant 15$$ \Rightarrow \left[ \begin{gathered} b = 1 \Rightarrow a < 2 \Rightarrow a = 1 \hfill \\ b = 2 \Rightarrow a < 8 \Rightarrow a \in \left\{ {1;...;7} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ có 8 cặp.Vậy tất cả có 99 cặp số nguyên dương thỏa mãn.

Question 50

Câu 50:

Cho hàm số $f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx – 1$; $g\left( x \right) = m{x^2} + nx + 1$ có đồ thị như hình vẽ bên Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Biết rằng $f''\left( 2 \right) = 0$ và hai đồ thị hàm số đã cho cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ ${x_1},{x_2},{x_3}$ thỏa mãn ${x_1} + {x_2} + {x_3} = 7$. Diện tích của hình phẳng gạch sọc trong hình vẽ thuộc khoảng nào dưới đây?

A
$\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{5}} \right)$.
B
$\left( {\frac{3}{5};1} \right)$.
C
$\left( {\frac{2}{5};\frac{1}{2}} \right)$.
D
$\left( {0;\frac{2}{5}} \right)$.

Ta có: $f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c;f''\left( x \right) = 6ax + 2b \Rightarrow f''\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow 12a + 2b = 0 \Leftrightarrow b = – 2a$Vậy $f\left( x \right) = a{x^3} – 6a{x^2} + cx – 1$.Do $f\left( x \right)$ là hàm số bậc ba và $g\left( x \right)$ là hàm số bậc hai và quan sát đồ thị đã cho tại các điểm cực trị ${x_0}$của $f\left( x \right)$ thì $g\left( {{x_0}} \right) = 0$Do đó: $g\left( x \right) = k.f'\left( x \right) \Leftrightarrow m{x^2} + nx + 1 = k\left( {3a{x^2} – 12ax + c} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 3ka \hfill \\ n = – 12ka \hfill \\ 1 = kc \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow g\left( x \right) = 3ka\left( {{x^2} – 4x} \right) + 1$$\mathop {\min }\limits_\mathbb{R} g\left( x \right) = g\left( 2 \right) = 1 – 12ka = – \frac{1}{3} \Leftrightarrow ka = \frac{1}{9} \Rightarrow g\left( x \right) = \frac{1}{3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)$.Phương trình hoành độ giao điểm:$f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow \frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x – 1 = \frac{1}{3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5 – \sqrt {13} }}{2};x = \frac{{5 + \sqrt {13} }}{2}.$Vậy diện tích cần tính cần tính là:$S = – \int\limits_0^{\frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}} {\left( {f\left( x \right) – g\left( x \right)} \right)} dx = – \int\limits_0^{\frac{{5 – \sqrt {13} }}{2}} {\left( {\frac{1}{3}{x^3} – 2{x^2} + 3x – 1 – \frac{1}{3}\left( {{x^2} – 4x + 3} \right)} \right)} dx = \frac{{89 – 13\sqrt {13} }}{{72}} \approx 0,5851$

Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Tổng Quan Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đề Kiểm Tra: Đề Luyện Thi TN THPT 2023 Môn Toán Online-Đề 11

Giải thích & Đáp án chi tiết

Tại Sao Cần Quan Tâm Đến Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập?

Cách Tận Dụng Tối Đa Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng

Những Lưu Ý Khi Trải Nghiệm Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập