Câu 33 trang 121 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao

- Chứng minh rằng \({u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)

- Tìm công bội q của cấp số nhân (u_n) có \({u_4} = 2\) và \({u_7} = - 686\).

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính số hạng tổng quát của CSN: \[{u_n} = {u_1}{q^{n - 1}}\]

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& {u_m} = {u_1}.{q^{m - 1}}\,\,\left( 1 \right) \cr & {u_k} = {u_1}.{q^{k - 1}}\,\,\left( 2 \right) \cr} \)

Lấy (1) chia (2) ta được :

\({{{u_m}} \over {{u_k}}} = {q^{m - k}} \Rightarrow {u_m} = {u_k}.{q^{m - k}}\)

Áp dụng :

Ta có:

\({u_7} = {u_4}{q^{7 - 4}} \Rightarrow - 686 = 2.{q^3} \)\(\Leftrightarrow {q^3} = - 343 \Leftrightarrow q = - 7\)

Hỏi có tồn tại hay không một cấp số nhân (u_n) mà \({u_2} = 5\) và \({u_{22}} = - 2000\) ?

Lời giải chi tiết:

Không tồn tại. Thật vậy,

Giả sử ta có

\(\begin{array}{l}{u_{22}} = {u_2}{q^{22 - 2}}\\ \Rightarrow - 2000 = 5.{q^{20}}\\ \Leftrightarrow {q^{20}} = - 400 < 0\end{array}\)

(vô lí)

Vậy không tồn tại CSN như trên.