Giải bài tập 4.23 trang 32 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá
Tính thể tích \(V\) của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 3\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((1 \le x \le 3)\)thì phần chung giữa chúng là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(3x - 2\).
Đề bài
Tính thể tích \(V\) của phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng \(x = 1\) và \(x = 3\), biết rằng khi cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với trục \(Ox\) tại điểm có hoành độ \(x\) \((1 \le x \le 3)\)thì phần chung giữa chúng là một hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là \(3x\) và \(3x - 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Thể tích của vật thể có tiết diện vuông góc với trục \(Ox\) là hình chữ nhật có diện tích thay đổi theo \(x\), được tính bằng tích phân:
\(V = \int_{{x_1}}^{{x_2}} {A(x)dx} \),
trong đó \(A(x)\) là diện tích của tiết diện tại hoành độ \(x\).
Lời giải chi tiết
- Diện tích tiết diện tại \(x\) là:
\(A(x) = 3x \times (3x - 2) = 9{x^2} - 6x.\)
- Thể tích \(V\) của vật thể được tính bằng tích phân:
\(V = \int_1^3 {(9{x^2} - 6x)} {\mkern 1mu} dx = \left[ {3{x^3} - 3{x^2}} \right]_1^3 = 54.\)
Vậy thể tích của vật thể là \(V = 54\).