Giải mục 3 trang 8, 9 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Tổng quan nội dung

Chuyên Mục Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập - Sự Lựa Chọn Phù Hợp

Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.

Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ6 HĐ7 LT7 LT8 VD2 LT9

HĐ6

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

HĐ7

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = 2x$ và một nguyên hàm $G(x)$ của hàm số $g(x) = 3$. Chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

LT7

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

LT8

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

a) Tính nguyên hàm của từng thành phần của hàm số. Đối với ${x^3}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản của đa thức. Đối với ${3^x}$, sử dụng công thức tích phân của hàm số mũ với cơ số khác $e$.

b) Tính nguyên hàm của từng thành phần. Đối với $\frac{1}{x}$, áp dụng công thức tích phân cơ bản. Đối với $\frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$, nhận dạng và sử dụng công thức tích phân của ${\csc ^2}x$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

VD2

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tốc độ tăng trưởng của một đàn gấu mèo tại thời điểm $t$ tháng kể từ khi người ta thả 100 cá thể đầu tiên vào một khu rừng được ước lượng bởi công thức $P'(t) = 8t + 30$ (con/tháng), với $P(t)$ là số lượng cá thể trong đàn tại thời điểm $t$ tháng tương ứng. Dựa vào tốc độ tăng trưởng đã cho, hãy ước tính số cá thể của đàn gấu mèo này tại thời điểm 3 tháng kể từ khi chúng được thả vào rừng.

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

LT9

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn

HĐ6
LT7
HĐ7
LT8
LT9
VD2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 6 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm một nguyên hàm $F(x)$ của hàm số $f(x) = x$. Chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Tìm đạo hàm của hàm số $2F(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $2f(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = x$ là:

$F(x) = \int x {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^2}}}{2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Tính đạo hàm của $2F(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2 \cdot \frac{d}{{dx}}\left[ {\frac{{{x^2}}}{2} + C} \right] = 2 \cdot \left( x \right) = 2x$

Mà $2f(x) = 2x$. Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[2F(x)] = 2f(x)$

Vậy $2F(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $2f(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {e^{2x + 1}};$

b) $g(x) = \frac{8}{x}$.

Phương pháp giải:

a) Sử dụng phương pháp tích phân với hàm mũ. Áp dụng kỹ thuật đổi biến nếu cần thiết.

b) Sử dụng công thức tích phân cơ bản đối với hàm số dạng $\frac{1}{x}$.

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ được tính như sau:

Trước tiên, ta đổi biến đặt $u = 2x + 1$. Khi đó, $du = 2dx$ hay $dx = \frac{{du}}{2}$. Tích phân của $f(x)$ trở thành:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \int {{e^u}} \cdot \frac{{du}}{2} = \frac{1}{2}\int {{e^u}} {\mkern 1mu} du = \frac{1}{2}{e^u} + C$

Thay $u = 2x + 1$ trở lại:

$\int {{e^{2x + 1}}} {\mkern 1mu} dx = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x) = {e^{2x + 1}}$ là:

$F(x) = \frac{1}{2}{e^{2x + 1}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ được tính như sau: Ta biết rằng:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + C$

Do đó:

$\int {\frac{8}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = 8\ln |x| + C$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{8}{x}$ là:

$G(x) = 8\ln |x| + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân.

Trả lời câu hỏi Hoạt động 7 trang 8 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm của $f(x) = 2x$ và $g(x) = 3$.

- Tìm đạo hàm của hàm số $F(x) + G(x)$.

- So sánh kết quả đạo hàm với hàm số $f(x) + g(x)$ để chứng minh.

Lời giải chi tiết:

Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 2x$ là:

$F(x) = \int 2 x{\mkern 1mu} dx = {x^2} + {C_1}$

trong đó ${C_1}$ là hằng số tích phân.

Nguyên hàm của hàm số $g(x) = 3$ là:

$G(x) = \int 3 {\mkern 1mu} dx = 3x + {C_2}$

trong đó ${C_2}$ là hằng số tích phân.

Ta cần chứng minh $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x) = 2x + 3$, tức là:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Tính đạo hàm của $F(x) + G(x)$:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = \frac{d}{{dx}}\left[ {{x^2} + {C_1} + 3x + {C_2}} \right] = 2x + 3$

Mà $f(x) + g(x) = 2x + 3$.

Do đó, ta có:

$\frac{d}{{dx}}[F(x) + G(x)] = f(x) + g(x)$

Vậy $F(x) + G(x)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(x) + g(x)$.

Trả lời câu hỏi Luyện tập 8 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $f(x) = {x^3} - {3^x};$

b) $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$.

Phương pháp giải:

Lời giải chi tiết:

a) Nguyên hàm của hàm số $f(x) = {x^3} - {3^x}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của ${x^3}$:

$\int {{x^3}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^4}}}{4} + {C_1}$

Tính nguyên hàm của $ - {3^x}$:

$\int - {3^x}{\mkern 1mu} dx = - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $f(x)$ là:

$F(x) = \frac{{{x^4}}}{4} - \frac{{{3^x}}}{{\ln 3}} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

b) Nguyên hàm của hàm số $g(x) = \frac{1}{x} - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$ được tính như sau:

Tính nguyên hàm của $\frac{1}{x}$:

$\int {\frac{1}{x}} {\mkern 1mu} dx = \ln |x| + {C_3}$

Tính nguyên hàm của $ - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}$:

$\int - \frac{4}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} dx = - 4\int {{{\csc }^2}} x{\mkern 1mu} dx = - 4( - \cot x) = 4\cot x + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \ln |x| + 4\cot x + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Luyện tập 9 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Tìm họ nguyên hàm của các hàm số:

a) $g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}};$

b) $h(t) = 2t(t - 3)$.

Phương pháp giải:

- Chia từng thành phần của tử số cho mẫu số để đơn giản hóa hàm số.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

- Phân phối 2t qua dấu ngoặc để đơn giản hóa biểu thức.

- Sử dụng công thức tích phân cơ bản để tìm nguyên hàm.

Lời giải chi tiết:

Đầu tiên, ta đơn giản hóa hàm số bằng cách chia tử số cho mẫu số:

$g(x) = \frac{{{x^4} + 2}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^4}}}{{{x^2}}} + \frac{2}{{{x^2}}} = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $g(x) = {x^2} + 2{x^{ - 2}}$:

$\int g (x){\mkern 1mu} dx = \int {({x^2} + 2{x^{ - 2}})} {\mkern 1mu} dx$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int {{x^2}} {\mkern 1mu} dx = \frac{{{x^3}}}{3} + {C_1}$

$\int 2 {x^{ - 2}}{\mkern 1mu} dx = 2\int {{x^{ - 2}}} {\mkern 1mu} dx = 2 \cdot \left( { - {x^{ - 1}}} \right) = - \frac{2}{x} + {C_2}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $g(x)$ là:

$G(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{2}{x} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_1}$ và ${C_2}$).

Đầu tiên, ta phân phối $2t$ qua dấu ngoặc:

$h(t) = 2t(t - 3) = 2{t^2} - 6t$

Bây giờ ta tìm nguyên hàm của hàm số $h(t) = 2{t^2} - 6t$:

$\int h (t){\mkern 1mu} dt = \int {(2{t^2} - 6t)} {\mkern 1mu} dt$

Tính nguyên hàm của từng thành phần:

$\int 2 {t^2}{\mkern 1mu} dt = 2 \cdot \frac{{{t^3}}}{3} = \frac{{2{t^3}}}{3} + {C_3}$

$\int - 6t{\mkern 1mu} dt = - 6 \cdot \frac{{{t^2}}}{2} = - 3{t^2} + {C_4}$

Vậy họ nguyên hàm của hàm số $h(t)$ là:

$H(t) = \frac{{2{t^3}}}{3} - 3{t^2} + C$

trong đó $C$ là hằng số tích phân (gộp từ ${C_3}$ và ${C_4}$).

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 9 SGK Toán 12 Cùng khám phá

Phương pháp giải:

Tìm hàm số lượng cá thể $P(t)$:

- Biết $P'(t) = 8t + 30$ là đạo hàm của hàm số lượng cá thể $P(t)$, ta tìm $P(t)$ bằng cách lấy tích phân của $P'(t)$ và thêm hằng số tích phân $C$.

- Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm giá trị của $C$.

Tính số lượng cá thể tại $t = 3$:

- Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$ đã tìm được để tính số lượng cá thể tại thời điểm 3 tháng.

Lời giải chi tiết:

Đạo hàm của hàm số lượng cá thể là $P'(t) = 8t + 30$. Tích phân của $P'(t)$ là:

$P(t) = \int {(8t + 30)} {\mkern 1mu} dt = 4{t^2} + 30t + C$

với $C$ là hằng số tích phân.

Theo đề bài, tại thời điểm $t = 0$, số lượng cá thể là 100:

$P(0) = 4{(0)^2} + 30(0) + C = 100$

Do đó, $C = 100$. Vậy hàm số lượng cá thể là:

$P(t) = 4{t^2} + 30t + 100$

Thay $t = 3$ vào hàm $P(t)$:

$P(3) = 4{(3)^2} + 30(3) + 100 = 4(9) + 90 + 100 = 36 + 90 + 100 = 226$

Số lượng cá thể của đàn gấu mèo tại thời điểm 3 tháng là 226 cá thể.

Lợi Ích Khi Tra Cứu Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Trên novel.com.vn

Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, novel.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.

Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.

Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.

Cách Tận Dụng Tối Đa Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Chính vì vậy, novel.com.vn luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.

Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.

Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của novel.com.vn luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.

Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng

Điểm mạnh số 1: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Điểm mạnh số 2: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Điểm mạnh số 3: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Điểm mạnh số 4: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Điểm mạnh số 5: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.

Cẩm Nang An Toàn Cho Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, novel.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.

Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.

Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Chỉ với vài thao tác cơ bản, hàng ngàn tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng cao sẽ hiện ra trước mắt bạn, sẵn sàng để tải về hoặc tham khảo trực tuyến mọi lúc mọi nơi.

Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?

Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Dù bạn là người mới hay đã có kinh ngh.

Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?

Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp b.

Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?

Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập v.

Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập

Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.

Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.