Giải mục 3 trang 53, 54, 55, 65, 57, 58, 59 SGK Toán 12 tập 2 - Chân trời sáng tạo
Tổng quan nội dung
Chuyên Mục Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập - Sự Lựa Chọn Phù Hợp
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
TH9
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
HĐ8
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
TH10
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
TH11
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
TH12
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
HĐ10
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
VD5
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
VD7
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
VD6
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
HĐ9
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
- HĐ8
- TH9
- VD5
- HĐ9
- TH10
- VD6
- HĐ10
- TH11
- TH12
- VD7
Trả lời câu hỏi Hoạt động 8 trang 53 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec a = \left( {2;1;3} \right)\) và \(\vec a' = \left( {3;2; - 8} \right)\).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong không gian.
b) Vectơ \(\vec b = \left( { - 2;; - 1; - 3} \right)\) có phải là một vectơ chỉ phương của \(d\) không?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng trong không gian đã được học ở các lớp dưới.
b) Kiểm tra xem \(\vec b\) có cùng phương với vectơ \(\vec a\) không.
c) Do góc của hai đường thẳng lớn nhất là 90 độ, còn góc giữa hai vectơ lớn nhất là 180 độ.
d) Từ câu c, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) là góc giữa hai đường thẳng \(\Delta \) và \(\Delta '\) cùng đi qua một điểm và tương ứng song song (hoặc trùng) với \(d\) và \(d'\).
b) Ta có \(\vec b = \left( { - 2; - 1; - 3} \right) = - \vec a\) nên \(\vec b\) cũng là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\).
c) Do \(\vec a\) và \(\vec a'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của \(d\) và \(d'\), nên ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right|\).
Ta có \(\vec a\) và \(\vec b\) là hai vectơ đối nhau, nên ta có \(\left( {\vec a,\vec a'} \right)\) và \(\left( {\vec b,\vec a'} \right)\) là hai góc bù nhau. Suy ra \(\left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
Như vậy \(\cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec a'} \right)} \right| = \left| {\cos \left( {\vec b,\vec a'} \right)} \right|\).
d) Từ câu c, ta có côsin của góc giữa hai đường thẳng trong không gian là giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.
Trả lời câu hỏi Thực hành 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\frac{{x - 7}}{3} = \frac{y}{5} = \frac{{z - 11}}{4}\) và \(d':\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 6}}{5} = \frac{{z - 1}}{{ - 4}}.\)
b) \(d:\frac{{x + 9}}{3} = \frac{{y + 4}}{6} = \frac{{z + 1}}{6}\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 9 - 10t\\y = 7 - 10t\\z = 15 + 5t\end{array} \right.\).
c) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 23 + 2t\\y = 57 + t\\z = 19 - 5t\end{array} \right.\) và \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 24 + t'\\y = 6 + t'\\z = t'\end{array} \right.\).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
a) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;5;4} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {2;5; - 4} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.2 + 5.5 + 4.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {5^2} + {4^2}} .\sqrt {{2^2} + {5^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{10}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {71^o}34'\).
b) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {3;6;6} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( { - 10; - 10;5} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {3.\left( { - 10} \right) + 6.\left( { - 10} \right) + 6.5} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {6^2}} .\sqrt {{{\left( { - 10} \right)}^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2} + {5^2}} }} = \frac{4}{9}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {63^o}37'\).
c) Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 5} \right)\).
Đường thẳng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {1;1;1} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.1 + 1.1 + \left( { - 5} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{15}}\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) \approx {77^o}50'\).
Trả lời câu hỏi Vận dụng 5 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trên một phần mềm đã thiết kế sân khấu 3D trong không gian \(Oxyz\). Tính góc giữa hai tia sáng có phương trình lần lượt là: \(d:\frac{x}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ - 1}}\) và \(d':\frac{{x - 1}}{3} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 1}}{9}\) (hình dưới đây).
Phương pháp giải:
Chỉ ra các vectơ chỉ phương của các đường thẳng, tính giá trị tuyệt đối của côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương đó, từ đó suy ra góc giữa hai đường thẳng trong không gian.
Lời giải chi tiết:
Tia sáng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {2;1; - 1} \right)\).
Tia sáng \(d'\) có một vectơ chỉ phương là \(\vec a' = \left( {3;3;9} \right)\).
Ta có \(\cos \left( {d,d'} \right) = \frac{{\left| {2.3 + 1.3 + \left( { - 1} \right).9} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {3^2} + {9^2}} }} = 0\).
Suy ra \(\left( {d,d'} \right) = {90^o}\).
Trả lời câu hỏi Hoạt động 9 trang 55 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương là \(\vec a = \left( {{a_1};{a_2};{a_3}} \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\). Biết \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại điểm \(N\) và hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\) là đường thẳng \(d'\). Qua \(N\) vẽ đường thẳng \(\Delta \) vuông góc với \(\left( P \right)\) (hình dưới đây).
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
b) Có nhận xét gì về số đo hai góc \(\alpha = \left( {d,d'} \right)\); \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\)?
c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\).
Phương pháp giải:
a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng đã được học ở các lớp dưới.
b) Chỉ ra rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}\).
c) Từ câu b, rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
a) Nếu đường thẳng \(a\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \({90^o}\).
Nếu đường thẳng \(a\) không vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right)\) thì góc giữa đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) là góc giữa đường thẳng \(a\) và hình chiếu \(a'\) của \(a\) trên \(\left( P \right).\)
b) Nhìn vào hình vẽ, ta thấy rằng hai góc \(\alpha \) và \(\beta \) có tổng số đo là \({90^o}.\)
c) Do \(\alpha + \beta = {90^o}\) nên ta có \(\sin \alpha = \cos \beta .\)
Ta có \(d'\) là hình chiếu vuông góc của \(d\) lên \(\left( P \right)\), nên \(\alpha = \left( {d,d'} \right) = \left( {d,\left( P \right)} \right).\)
Ta có \(\beta = \left( {\Delta ,d} \right)\) nên \(\cos \beta = \cos \left( {\Delta ,d} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|\). (Vì \(\vec a\) và \(\vec n\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(\Delta \)).
Mà \(\sin \alpha = \cos \beta \) nên \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 10 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa đường thẳng \(d\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 11 + 3t\\y = - 11 + t\\z = - 21 - 2t\end{array} \right.\) và \(\left( P \right):6x + 2y - 4z + 7 = 0.\)
b) \(d:\frac{{x - 3}}{2} = \frac{{y + 4}}{4} = \frac{{z - 5}}{2}\) và \(\left( P \right):2x + 2y - 4z + 1 = 0.\)
c) \(d:\frac{{x + 3}}{4} = \frac{{y + 5}}{4} = \frac{{z + 11}}{2}\) và \(\left( P \right):2y - 4z + 7 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {3;1; - 2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {6;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {3.6 + 1.2 + \left( { - 2} \right).\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{6^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {90^o}\).
b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {2;4;2} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {2;2; - 4} \right)\).
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {2.2 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{6}\).
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) \approx {9^o}36'\).
c) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\vec a = \left( {4;4;2} \right).\)
Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là \(\vec n = \left( {0;2; - 4} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 4.2 + 2.\left( { - 4} \right)} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {4^2} + {2^2}} .\sqrt {{0^2} + {2^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 0.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {0^o}.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 6 trang 56 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Đề bài:
Trên một sân khấu đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa tia sáng có phương trình \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 1 + t\\z = 1 + t\end{array} \right.\) và măt sàn sân khấu có phương trình \(z = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định vectơ chỉ phương \(\vec a\) của tia sáng \(d\) và vectơ pháp tuyến \(\vec n\) của mặt sân khấu \(\left( P \right)\). Sau đó sử dụng công thức \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right|.\)
Lời giải chi tiết:
Một vectơ chỉ phương của tia sáng \(d\) là \(\vec a = \left( {0;1;1} \right)\).
Một vectơ pháp tuyến của mặt sân khấu \(\left( P \right)\) là
\(\vec n = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {d,\left( P \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec a,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {0.0 + 1.0 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)
Suy ra \(\left( {d,\left( P \right)} \right) = {45^o}.\)
Trả lời câu hỏi Hoạt động 10 trang 57 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {{n_1};{n_2};{n_3}} \right)\), \(\vec n' = \left( {{n_1}';{n_2}';{n_3}'} \right)\) (hình dưới dây).
Gọi \(d\) và \(d'\) là hai đường thẳng lần lượt vuông góc với \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\). Gốc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\). So sánh \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right)\) và \(\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right).\)
Phương pháp giải:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), từ đó rút ra kết luận.
Lời giải chi tiết:
Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) là góc giữa hai đường thẳng \(d\) và \(d'\), nên suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left( {d,d'} \right).\)
Như vậy \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \cos \left( {d,d'} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\). (Do \(\vec n\) và \(\vec n'\) lần lượt là các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(d\) và \(d'.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 11 trang 58 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(\left( P \right):3x + 7y - z + 4 = 0\) và \(\left( {P'} \right):x + y - 10z + 2025 = 0.\)
b) \(\left( P \right):x + y - 2z + 9 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3x - 5y + z + 2024 = 0.\)
c) \(\left( P \right):x + z + 3 = 0\) và \(\left( {P'} \right):3y + 3z + 5 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\), sau đó sử dụng công thức \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\vec n,\vec n'} \right)} \right|\).
Lời giải chi tiết:
a) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {3;7; - 1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {1;1; - 10} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 7.1 + \left( { - 1} \right).\left( { - 10} \right)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {7^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 10} \right)}^2}} }} = \frac{{20}}{{\sqrt {6018} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {75^o}3'.\)
b) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\vec n' = \left( {3; - 5;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.3 + 1.\left( { - 5} \right) + \left( { - 2} \right).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 5} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2\sqrt {210} }}{{105}}\).
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) \approx {73^o}59'.\)
c) \(\left( P \right)\) và \(\left( {P'} \right)\) có các vectơ pháp tuyến lần lượt là \(\vec n = \left( {1;0;1} \right)\) và \(\vec n' = \left( {0;3;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = \frac{{\left| {1.0 + 0.3 + 1.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{0^2} + {3^2} + {3^2}} }} = \frac{1}{2}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( {P'} \right)} \right) = {30^o}.\)
Trả lời câu hỏi Thực hành 12 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Trong không gian \(Oxyz\), cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\). Cho biết \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Tính góc giữa:
a) hai đường thẳng \(AC\) và \(BA'.\)
b) hai mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right).\)
c) đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right).\)
Phương pháp giải:
a) Xác định các vectơ chỉ phương của các đường thẳng \(AC\) và \(BA'\), côsin góc giữa hai đường thẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
b) Xác định các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right)\) và \(\left( {AA'C'C} \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
c) Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng \(AC'\) và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\), sin góc giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \(A\left( {0;0;0} \right)\), \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\), suy ra \(C\left( {1;5;0} \right).\)
Suy ra \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) và \(\overrightarrow {BA'} = \left( { - 1;0;3} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {AC,BA'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {BA'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.0 + 0.3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {0^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt {65} }}{{130}}\).
Vậy \(\left( {AC,BA'} \right) \approx {86^o}27'.\)
b) Ta có \(BB' \bot AC\) và \[DB \bot AC\] nên \(\overrightarrow {AC} = \left( {1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {BB'D'D} \right).\)
Ta có \(CC' \bot BD\) và \[AC \bot BD\] nên \(\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;5;0} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {AA'C'C} \right).\)
Như vậy,
\(\cos \left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {BD} ,\overrightarrow {AC} } \right)} \right| = \frac{{\left| {1.\left( { - 1} \right) + 5.5 + 0.0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {0^2}} \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {5^2} + {0^2}} }} = \frac{{12}}{{13}}.\)
Suy ra \(\left( {\left( {BB'D'D} \right),\left( {AA'C'C} \right)} \right) \approx {22^o}37'\).
c) Ta có \(C'\left( {1;5;3} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AC'} = \left( {1;5;3} \right).\)
Ta có \(B\left( {1;0;0} \right)\), \(D\left( {0;5;0} \right)\), \(A'\left( {0;0;3} \right)\). Suy ra mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) có một cặp vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {A'B} \left( {1;0; - 3} \right)\) và \(\overrightarrow {A'D} \left( {0;5; - 3} \right)\). Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) là \(\vec n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( {15;3;5} \right).\)
Ta có \(\sin \left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {AC'} ,\vec n} \right)} \right| = \frac{{\left| {1.15 + 5.3 + 3.5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {5^2} + {3^2}} .\sqrt {{{15}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = \frac{{9\sqrt {185} }}{{259}}.\)
Suy ra \(\left( {AC',\left( {A'BD} \right)} \right) \approx {28^o}12'.\)
Trả lời câu hỏi Vận dụng 7 trang 59 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo
Để làm thí nghiệm về chuyển động trong mặt phẳng nghiêng, người làm thí nghiệm đã thiết lập sẵn một hệ toạ độ \(Oxyz\). Tính góc giữa mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right):4x + 11z + 5 = 0\) và mặt sàn \(\left( Q \right):z - 1 = 0.\)
Phương pháp giải:
Xác định các vectơ pháp tuyến của mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) và mặt sàn \(\left( Q \right)\), côsin góc giữa hai mặt phẳng bằng giá trị tuyệt đối của côsin góc giữa hai vectơ đó.
Lời giải chi tiết:
Mặt phẳng nghiêng \(\left( P \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} = \left( {4;0;11} \right).\)
Mặt sàn \(\left( Q \right)\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} = \left( {0;0;1} \right).\)
Ta có \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_{\left( P \right)}}} ,\overrightarrow {{n_{\left( Q \right)}}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {4.0 + 0.0 + 11.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {{11}^2}} .\sqrt {{0^2} + {0^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{\sqrt {137} }}.\)
Suy ra \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) \approx {19^o}59'.\)
Lợi Ích Khi Tra Cứu Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Trên novel.com.vn
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, novel.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.
Cách Tận Dụng Tối Đa Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Chính vì vậy, novel.com.vn luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của novel.com.vn luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Cẩm Nang An Toàn Cho Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, novel.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Chỉ với vài thao tác cơ bản, hàng ngàn tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng cao sẽ hiện ra trước mắt bạn, sẵn sàng để tải về hoặc tham khảo trực tuyến mọi lúc mọi nơi.
Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Dù bạn là người mới hay đã có kinh ngh.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp b.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập v.
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.