Lý thuyết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng. Phép chiếu vuông góc - SGK Toán 11 Cùng khám phá
Tổng quan nội dung
Chuyên Mục Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập - Sự Lựa Chọn Phù Hợp
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Sự hài lòng của bạn chính là động lực để hệ thống không ngừng nâng cấp và mở rộng chuyên mục tài liệu học tập và giải bài tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
A. Lý thuyết 1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng a) Khái niệm
A. Lý thuyết
1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
a) Khái niệm
Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng \((\alpha )\) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng \((\alpha )\), kí hiệu \(d \bot (\alpha )\). |
b) Điều kiện để một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy. |
2. Tính chất của quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
a) Sự tồn tại của các đường thẳng và mặt phẳng vuông góc với nhau
- Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước. - Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước. |
Lưu ý:
- Mặt phẳng qua trung điểm M của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB gọi là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
- Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng là tập hợp các điểm cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng này.
b) Liên hệ giữa tính song song và tính vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng
- Cho hai đường thẳng song song. Mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. - Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. |
- Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia. - Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. |
- Đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với a. - Một đường thẳng và một mặt phẳng không chứa đường thẳng đó, cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song với nhau. |
3. Phép chiếu vuông góc. Định lí ba đường vuông góc
a) Phép chiếu vuông góc
| Nếu \(\Delta \bot (\alpha )\) thì phép chiếu song song theo phương \(\Delta \) lên mặt phẳng \((\alpha )\) được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((\alpha )\). |
Nhận xét:
- Nếu phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng \((\alpha )\) còn được gọi đơn giản là phép chiếu lên mặt phẳng \((\alpha )\). Nếu H’ là hình chiếu vuông góc của H lên mặt phẳng
\((\alpha )\) thì ta cùng nói H’ là hình chiếu của H trên mặt phẳng \((\alpha )\).
- Phép chiếu vuông góc cũng có mọi tính chất của phép chiếu song song.
b) Định lí ba đường vuông góc
| Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và đường thẳng b không nằm trong (α), đồng thời không vuông góc với (α). Hình chiếu của b trên mặt phẳng (α) là đường thẳng b′. Khi đó, a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b′. |
4. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
| Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α). Nếu a vuông góc với (α) thì góc giữa a và (α) bằng \({90^o}\). Nếu a không vuông góc với (α) thì góc giữa a và (α) là góc giữa a và hình chiếu a' của a trên (α). |
Lưu ý: Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α), ta có:
+ \({0^o} < \varphi < {90^o}\).
+ a // (α) hoặc \(a \subset (\alpha )\) thì \(\varphi = {0^o}\).
+ \(a \bot (\alpha ) \Leftrightarrow \varphi = {90^o}\).
B. Bài tập
Bài 1: Trong không gian, cho tam giác ABC và đường thẳng d vuông góc với AB và AC. Chứng minh d vuông góc với BC.
Giải:
Theo giả thiết: \(d \bot AB\); \(d \bot AC\). Hai đường thẳng AB và AC cắt nhau, tạo nên mặt phẳng (ABC). Áp dụng định lí trên, ta có \(d \bot (ABC)\). Mà \(BC \subset (ABC)\), nên \(d \bot BC\).
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và ABCD là hình vuông có O là giao điểm hai đường chéo.
a) Chứng minh rằng (SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD.
b) Gọi E là một điểm trong không gian sao cho DE ⊥ (SAC). Chứng minh B, D, E thẳng hàng.
c) c) Giả sử (α) là mặt phẳng qua S vuông góc với BD. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (α) và (ABCD).
Giải:
a) Vì SA ⊥ (ABCD) nên BD ⊥ (SAC).
Ta lại có: BD ⊥ AC (do ABCD là hình vuông). Suy ra BD ⊥ (SAC).
b) Ta có: BD và DE cùng vuông góc với (SAC).
Do qua D có duy nhất một đường thẳng vuông góc với (SAC) nên các đường thẳng BD và DE phải trùng nhau. Điều đó có nghĩa là B, D, E thẳng hàng.
c) Ta đã chứng minh được BD ⊥ (SAC). Mặt khác, chỉ có một mặt phẳng qua S và vuông góc với BD, đó là mặt phẳng (SAC). Vậy mặt phẳng (α) chính là (SAC).
Suy ra giao tuyến của (α) và (ABCD) là AC.
Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác ABC cân tại A. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Chứng minh MN và BC cùng vuông góc với mặt phẳng (SAP).
Giải:
ΔABC cân tại A, P là trung điểm của BC, do đó BC ⊥ AP.
SA ⊥ (ABC) nên SA ⊥ BC. Suy ra BC ⊥ (SAP).
Mà MN // BC (đường trung bình của tam giác BAC) nên hai đường thẳng BC, MN cùng vuông góc với mặt phẳng (SAP).
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi N, M lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, AD. Mặt phẳng (α) qua MN và song song với AC. Chứng minh BD vuông góc mặt phẳng (α).
Giải:
Ta có MN // SA (đường trung bình trong tam giác SAD) ⇒ (α) // SA, mà (α) // AC nên (α) // (SAC).
Ta có BD ⊥ SA (SA ⊥ (ABCD)) và BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) nên BD ⊥ (SAC).
Vậy BD ⊥ (α).
Bài 5: Cho mặt phẳng (α) và tam giác OAB vuông tại O có cạnh OA // (α), cạnh OB không vuông góc với (α). Qua O, A, B lần lượt vẽ đường thẳng d, a, b vuông góc với (α) và cắt (α) lần lượt tại O', A', B'. Chứng minh tam giác O'A'B' vuông tại O'.
Giải:
Ta có: OA // (α), OO' ⊥ (α) nên OO' ⊥ OA.
Mà OA ⊥ OB nên A ⊥ (OO'B') (OO' // BB' vì cùng vuông góc với (α)).
Do OA // (α), (OO'A) ∩ (α) = O'A' ⊥ OA.
Vậy O'A' ⊥ (OO'B') nên O'A' ⊥ O'B' hay tam giác O'A'B' vuông tại O'.
Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông và SA vuông góc với đáy (ABCD). Xác định hình chiếu của:
a) Đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD).
b) Cạnh SC trên mặt phẳng (ABCD).
c) Tam giác SBD trên mặt phẳng (ABCD).
Giải:
a) Theo giả thiết, SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABCD) là điểm A.
b) C ∈ (ABCD) nên hình chiếu của C trên mặt phẳng (ABCD) chính là C. Mặt khác, hình chiếu của S trên (ABCD) là điểm A. Suy ra, hình chiếu của cạnh SC trên (ABCD) là AC.
c) Hình chiếu của B, D trên (ABCD) lần lượt là chính B, D. Hình chiếu của S trên (ABCD) là A.
Suy ra, hình chiếu của ΔSBD trên (ABCD) là ΔABD.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng ABCD là hình thoi khi và chỉ khi BD vuông góc với SC.
Giải:
Theo giả thiết, SA ⊥ (ABCD) nên hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) là A. Vì C ∈ (ABCD) nên hình chiếu của C là chính nó. Vậy hình chiếu của cạnh SC là AC.
Từ đó suy ra:
- Nếu ABCD là hình thoi thì BD ⊥ SC. Do đó, BD ⊥ SC.
- Ngược lại, nếu SC ⊥ BD vuông góc với hình chiếu của SC, nghĩa là BD ⊥ AC. Khi đó, hình bình hành ABCD có hai đường chéo vuông góc với nhau. Suy ra ABCD là hình thoi.
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA = \(a\sqrt 2 \). Xác định và tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
Giải:
Ta có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) tại A, nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABCD).
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa SC và AC. Đó là \(\widehat {SCA}\).
Ta có \(\tan \widehat {SCA} = \frac{{SA}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 a}}{{\sqrt 2 a}} = 1\). Suy ra \(\widehat {SCA} = {45^o}\).
Vậy góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) là \(\widehat {SCA} = {45^o}\).
Lợi Ích Khi Tra Cứu Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập Trên novel.com.vn
Với sự ra đời của các nền tảng trực tuyến, việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập trở nên thuận tiện hơn bao giờ hết. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, novel.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Hãy chủ động xây dựng kế hoạch đạt kết quả cao trong học tập hợp lý kết hợp với những tài liệu học tập và giải bài tập tuyệt vời này để đạt được thành tựu như mong muốn.
Chúng tôi hiểu rằng chất lượng của tài liệu học tập và giải bài tập quyết định trực tiếp đến sự thành công của bạn. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp bạn dễ dàng đạt kết quả cao trong học tập một cách nhanh chóng và chính xác. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng và vốn sống của mỗi cá nhân. Rất nhiều người dùng đã chia sẻ rằng việc tiếp cận tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn đã thay đổi hoàn toàn thói quen của họ. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.
Cách Tận Dụng Tối Đa Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Chính vì vậy, novel.com.vn luôn ưu tiên tuyển chọn tài liệu học tập và giải bài tập từ những nguồn uy tín. Quá trình chọn lọc này giúp loại bỏ những thông tin sai lệch, đảm bảo bạn nhận được giá trị thực sự. Với định hướng phát triển bền vững, thư viện tài liệu học tập và giải bài tập này hứa hẹn sẽ còn mang đến nhiều bất ngờ thú vị.
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Chúng tôi cam kết duy trì sự ổn định để bạn yên tâm đạt kết quả cao trong học tập mà không gặp bất kỳ trở ngại nào. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Chỉ với một thiết bị kết nối mạng, kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập khổng lồ của novel.com.vn luôn sẵn sàng phục vụ bạn 24/7. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Đây chính là minh chứng rõ ràng cho sự cam kết về một dịch vụ miễn phí nhưng chất lượng vượt trội.
Đặc Điểm Nổi Bật Của Nền Tảng
- Điểm mạnh số 1: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 2: Không thể phủ nhận vai trò to lớn của tài liệu học tập và giải bài tập trong việc nâng cao kỹ năng v... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 3: Trong bối cảnh công nghệ thông tin phát triển mạnh mẽ, tài liệu học tập và giải bài tập đã trở thành... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 4: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
- Điểm mạnh số 5: Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng ... giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập tuyệt vời hơn.
Cẩm Nang An Toàn Cho Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Nhiều chuyên gia khẳng định rằng, việc thường xuyên cập nhật tài liệu học tập và giải bài tập là chìa khóa để duy trì lợi thế cạnh tranh. Dù bạn là người mới hay đã có kinh nghiệm, novel.com.vn đều cung cấp những tài liệu, tài liệu học tập và giải bài tập phù hợp với trình độ và nhu cầu cá nhân. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Hơn thế nữa, giao diện thân thiện giúp người dùng tương tác với tài liệu học tập và giải bài tập một cách tự nhiên và thoải mái, tối ưu hóa thời gian đạt kết quả cao trong học tập mỗi ngày.
Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Điều này không chỉ giúp tối ưu hiệu suất mà còn tạo cảm hứng mạnh mẽ để bạn tiếp tục đạt kết quả cao trong học tập. Hãy biến mỗi phút giây trực tuyến của bạn thành những khoảnh khắc hữu ích.
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Không chỉ tiện lợi, tốc độ tải trang nhanh và hệ thống máy chủ ổn định giúp trải nghiệm đạt kết quả cao trong học tập không bao giờ bị gián đoạn. Chỉ với vài thao tác cơ bản, hàng ngàn tài liệu học tập và giải bài tập chất lượng cao sẽ hiện ra trước mắt bạn, sẵn sàng để tải về hoặc tham khảo trực tuyến mọi lúc mọi nơi.
Giải Đáp Thắc Mắc: Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Dù bạn là người mới hay đã có kinh ngh.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Việc truy cập tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn giúp b.
Hỏi: Sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập tại novel.com.vn có an toàn không?
Đáp: Hoàn toàn an toàn và miễn phí. Bạn có thể thoải mái đạt kết quả cao trong học tập mà không lo lắng về vấn đề bảo mật. Một trong những ưu điểm nổi bật khi tìm kiếm tài liệu học tập và giải bài tập là hệ thống phân loại thông minh. Bằng cách tham khảo tài liệu học tập v.
Tổng Kết Về Tài Liệu Học Tập Và Giải Bài Tập
Đừng bỏ lỡ cơ hội khám phá kho tàng tài liệu học tập và giải bài tập đồ sộ này. Thông qua quá trình tổng hợp và phân tích chuyên sâu, novel.com.vn tự hào giới thiệu bộ sưu tập tài liệu học tập và giải bài tập đa dạng. Mỗi một tài liệu học tập và giải bài tập đều được trình bày rõ ràng, mạch lạc nhằm hỗ trợ bạn đạt kết quả cao trong học tập hiệu quả nhất. Đừng quên chia sẻ những tài liệu học tập và giải bài tập bổ ích này đến bạn bè và đồng nghiệp để cùng nhau lan tỏa tri thức.
Đóng vai trò như một trợ thủ đắc lực, tài liệu học tập và giải bài tập giúp chúng ta tiết kiệm đáng kể thời gian và công sức. Các tài liệu học tập và giải bài tập được chia thành nhiều danh mục nhỏ, đi kèm với bộ lọc chi tiết, cho phép bạn thu hẹp phạm vi tìm kiếm một cách nhanh chóng. Cho dù nhu cầu của bạn là gì, mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập ra sao, bạn cũng sẽ tìm thấy câu trả lời thỏa đáng tại đây. Thêm vào đó, việc sử dụng tài liệu học tập và giải bài tập hàng ngày sẽ giúp củng cố kỹ năng và nền tảng kiến thức của bạn, biến mục tiêu đạt kết quả cao trong học tập thành hiện thực nhanh chóng hơn bao giờ hết.