Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 1

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 5

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2

c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0;4)

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

a) Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \)

b) Vecto đối của vecto \(\overrightarrow {A'A} \) là \(\overrightarrow {B'B} \)

c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {A'B'} \)

d) \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A} \)

a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \)

b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = - 1\)

c) \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2}\)

d) \(\left( {\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} } \right) = {120^o}\)

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Quan sát bảng biến thiên thấy y’ < 0 trên khoảng (0;2) nên hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Đồ thị có hai cực trị nên là hàm số bậc ba. Nhánh cuối của đồ thị đi lên nên a > 0.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Hàm số đạt giá trị lớn nhất y = 2.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Quan sát bảng biến thiên thấy đường tiệm cận đứng có hoành độ bằng 1, đường tiệm cận ngang có tung độ bằng 1 nên tiệm cận đứng là x = 1, tiệm cận ngang là y = 1.

Tìm 2 điểm mà tiệm cận xiên đi qua, từ đó tìm ra phương trình đường tiệm cận xiên.

Quan sát đồ thị thấy điểm A(4;0) và điểm B(0;-4) thuộc đường tiệm cận xiên, suy ra phương trình đường tiệm cận xiên là y = x – 4.

Tìm giao điểm hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

Quan sát đồ thị thấy giao điểm của hai đường tiệm cận có tọa độ (-1;1) suy ra tâm đối xứng của đồ thị hàm số có tọa độ là (-1;1).

Dựa vào lí thuyết phép cộng (trừ) và phép nhân vecto với một số.

Theo lý thuyết, ta chọn D.

Xét tập xác định và y’ của từng hàm số.

Hàm số phải có \(y' < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\). Chỉ có đáp án C thỏa mãn vì \(y' = - 3{x^2} - 2 < 0\) \(\forall x \in \mathbb{R}\).

Lập bảng biến thiên và tìm GTLN.

\(y = {(x - 2)^2}.{e^x}\) có tập xác định \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 2(x - 2).{e^x} + {(x - 2)^2}.{e^x} = (x - 2).{e^x}.[2 + (x - 2)] = x.(x - 2).{e^x}\)

\(y' = 0\) suy ra x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \({(x - 2)^2}.{e^x}\) trên đoạn \([0;3]\) bằng \({e^3}\).

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Quan sát bảng biến thiên thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = 1\) nên tiệm cận ngang của đồ thị là y = 1, ta loại đáp án D.

Quan sát bảng biến thiên thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} y = + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} y = - \infty \) nên tiệm cận đứng của đồ thị là x = 3, ta loại đáp án B và C.

Ta sử dụng cách xác định đồ thị hàm số bậc ba.

Từ hình vẽ tìm một số điểm thuộc đồ thuh hàm số rồi thay tọa độ vào từng đáp án để loại trừ.

Từ hình vẽ ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = - \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = + \infty \) nên loại A, B.

Đồ thị hàm số đi qua điểm có tọa độ (2;-3) nên thay x = 2; y = -3 vào hai hàm số C, D chỉ thấy hàm số D thỏa mãn.

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

\(\cos \left( {\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right|.\left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} \Leftrightarrow \cos {60^o} = \frac{{\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} }}{{2a.2a}} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 4{a^2}.\cos {60^o} = 2{a^2}.\)

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 5

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3

d) Đồ thị hàm số không có đường tiệm cận

Quan sát đồ bảng biến thiên và nhận xét.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên (0;2) và đồng biến (2;3).

b) Sai. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 (x = 0, x = 2, x = 3).

c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3.

d) Đúng. Đồ thị hàm số liên tục trên và không có tiệm cận.

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên R

b) Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2

c) Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tọa độ (0;4)

d) Đồ thị hàm số đã cho không đi qua gốc tọa độ

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = {e^x} - 2\).

Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow {e^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = \ln 2\).

Ta có bảng biến thiên:

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biên trên \(( - \infty ;\ln 2)\) và đồng biến trên \((\ln 2; + \infty )\).

b) Đúng. Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại x = ln2.

c) Đúng. Vì khi x = 0 thì y = 4, đồ thị đi qua điểm có tọa độ (0;4).

d) Đúng. Vì gốc tọa độ O(0;0) thay vào hàm số thấy không thỏa mãn.

a) Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \)

b) Vecto đối của vecto \(\overrightarrow {A'A} \) là \(\overrightarrow {B'B} \)

c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {A'B'} \)

d) \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {C'A} \)

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto và lý thuyết các vecto bằng nhau, các vecto đối nhau.

a) Đúng. Các vecto bằng với vecto \(\overrightarrow {AB} \) là \(\overrightarrow {DC} ,\overrightarrow {D'C'} ,\overrightarrow {A'B'} \) vì chúng cùng phương, cùng chiều và cùng độ dài.

b) Sai. Hai vecto \(\overrightarrow {A'A} \),\(\overrightarrow {B'B} \) cùng chiều nên không phải vecto đối nhau.

c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DC} = 2\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {A'B'} \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {BB'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {CC'} - \overrightarrow {CA} = \overrightarrow {AC'} \).

a) \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \)

b) \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {BA} = - 1\)

c) \(\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} = - \frac{1}{2}\)

d) \(\left( {\overrightarrow {BI} .\overrightarrow {CD} } \right) = {120^o}\)

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto và lý thuyết các vecto bằng nhau, các vecto đối nhau, góc giữa hai vecto.

a) Đúng. Vì \(\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CA} \Leftrightarrow \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BC} \) (luôn đúng)

b) Sai. Vì các vecto \(\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {BD} \) đôi một vuông góc với nhau nên tích vô hướng của chúng bằng 1.

c) Đúng. Gọi M là trung điểm của AD, ta có \(IM = BM = BI = \frac{{DC}}{2}\) nên tam giác BMI đều.

Suy ra \(\widehat {MIB} = {60^o} = \left( {\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IB} } \right) = \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right) \Rightarrow \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {IB} } \right)\)

\( \Rightarrow - \cos {60^o} = \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2}\).\(\)

d) Đúng. Vì \(\cos \left( {\overrightarrow {CD} ,\overrightarrow {BI} } \right) = \frac{{ - 1}}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {BI} } \right) = {120^o}\).

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Lập bảng biến thiên, tìm điểm cực đại, cực tiểu của hàm số

\(y' = 3{x^2} - 6x\).

\(y' = 0\) khi x = 0 hoặc x = 2.

Ta có bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, đạt cực tiểu tại x = 2.

\( \Rightarrow a = 0,b = 2 \Rightarrow a - 2b = 0 - 2.2 = - 4\).

Điểm M có hoành độ bằng OA, tung độ bằng OB và cao độ bằng OC.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tính OA, OB, OC.

Ta có:

\(c = OC = OM.\cos {65^o} = 14.\cos {65^o}\).

\(b = OB = ON.\cos {32^o} = OM.\sin {65^o}.\cos {32^o} = 14.\sin {65^o}.\cos {32^o}\).

\(a = OA = ON.\cos ({90^o} - {32^o}) = OM\sin {65^o}.\cos {58^o} = 14.\sin {65^o}.\cos {58^o}\).

Vậy \(a + b + c \approx 23,4\).

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là x.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho \(O \equiv A,B \in Ox,D \in Oy,A' \in Oz\).

Khi đó, tọa độ các đỉnh là: \(A(0;0;0),B(a;0;0),D(0;x;0),A'(0;0;x),B'(x;0;x),C(x,x,x)\).

M là trung điểm của AD suy ra \(M\left( {0;\frac{x}{2};0} \right)\).

N là trung điểm của BB’ suy ra \(N\left( {x;0;\frac{x}{2}} \right)\).

Do đó, \(\overrightarrow {MN} = \left( {x; - \frac{x}{2};\frac{x}{2}} \right)\) và \(\overrightarrow {AC'} = \left( {x;x;x} \right)\).

Ta có: \(\cos \left( {MN,AC'} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {AC'} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MN} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC'} } \right|}} = \frac{{{x^2}}}{{x\sqrt 3 .x.\frac{{\sqrt 6 }}{2}}} = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).

\( \Rightarrow a = 2,b = 3 \Rightarrow a + b = 2 + 3 = 5\).

Tìm sản lượng thu hoạch theo số cá trên một đơn vị diện tích, lập bảng biến thiên cho hàm số đó rồi tìm giá trị lớn nhất.

Nếu trên mỗi đơn vị diện tích của mặt hồ có n con cá thì sau một vụ, số cá trên mỗi đơn vị diện tích mặt hồ trung bình nặng \(f(n) = nP(n) = 480n - 20{n^2}\) (gam).

Xét hàm số \(f(x) = 480x - 20{x^2};x \in (0; + \infty )\).

Ta có: \(f'(x) = 480 - 40x = 0 \Leftrightarrow x = 12.\)

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, hàm f đạt giá trị lớn nhất tại x = 12. Từ đó, f(n) đạt giá trị lớn nhất tại n = 12.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Quan sát đồ thị, thấy: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) suy ra \(a < 0\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) lần lượt là hai điểm cực trị của hàm số đã cho \(({x_1} < {x_2})\).

Quan sát đồ thị, thấy \({x_1} + {x_2} > 0\) nên \(ab < 0\). Mà a < 0 suy ra b > 0.

Quan sát đồ thị, thấy \({x_1}.{x_2} > 0\) nên \(ac > 0\). Mà a < 0 suy ra c < 0.

Đồ thị hàm số giao trục tung tại điểm có tung độ \(d\) nằm phía trên trục hoành suy ra \(d > 0\).

Vậy, trong các số \(a,b,c,d\) có hai số \(b,d\) dương.

Ứng dụng đạo hàm và sử dụng bảng biến thiên.

Gọi một trong hai số phải tim là x, số kia là x + 13.

Xét tích \(P(x) = x(13 + x)\).

Ta có \(P'(x) = 2x + 13 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 13}}{2}\).

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, ta có \(\min P(x) = P\left( {\frac{{ - 13}}{2}} \right) = \frac{{ - 169}}{4}\). Vậy tích hai số bé nhất khi một số là \(\frac{{ - 13}}{2}\) và số kia là \(\frac{{13}}{2}\). Tổng của chúng bằng 0.