Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 8

a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

c) Hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = \frac{{2{x^2} - 1}}{{x + 1}}\)

a) Đồ thị hàm số f(x) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}}\)

b) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;2)\) và \((2; + \infty )\)

d) Hàm số y = f(x) có hai cực trị

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} \)

b) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \)

c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {D'A} = \overrightarrow 0 \)

d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {D'O} + \overrightarrow {OC'} \)

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 15\)

b) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\)

c) \({\overrightarrow b ^2} = 14\)

d) \(7x + y = 0\)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Nhìn vào đồ thị ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-1;1); nghịch biến trên khoảng (-∞;-1) và (1;+∞).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Ta có đây là đồ thị hàm số bậc 3 dạng \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) vì có 2 điểm cực trị, hệ số a < 0 (vì nhánh cuối đồ thị đi xuống).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[0;2]} f(x) = f(1) = 3\), \(\mathop {\min }\limits_{[0;2]} f(x) = f(0) = 0\). Vậy M – m = 3 – 0 = 3.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 1)}^ + }} f(x) = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty \) nên x = -1, x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 3\) nên y = 3 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 2x - 1}}{x} = x + 2 - \frac{1}{x} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - \left( {x + 2} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 1}}{x} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = x + 2\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tâm đối xứng của đồ thị là giao điểm của các đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -2 và tiệm cận ngang y = 3, suy ra tâm đối xứng là giao điểm của hai tiệm cận có tọa độ (-2;3).

Dựa vào lý thuyết vecto cùng phương, vecto đồng phẳng, quy tắc trung điểm.

Câu B sai vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \) đúng với mọi điểm A, B, C, D.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị nhận x = -3 là tiệm cận đứng và y = 2 là tiệm cận ngang. Loại A, B.

Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định.

Xét hàm số \(y = \frac{{2x + 7}}{{x + 3}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 1}}{{{{(x + 3)}^2}}} < 0\) \((\forall x \ne - 3)\), ta loại đáp án C.

Dựa vào sự biến thiên và cực trị của hàm số để xét dấu.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên a < 0. Loại B.

Đồ thị đi qua điểm (0;d) nên d < 0 (vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm).

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\). Dựa vào hình vẽ ta thấy \({x_1} > 0,x{}_2 > 0\).

Mặt khác, \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b > 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.\)

Dựa vào sự biến thiên, cực trị, giới hạn thông qua đồ thị f’(x).

Ta thấy trên khoảng (0;3), f’(x) mang dấu âm nên hàm số nghịch biến trên (0;3). Suy ra f(0) > f(3).

Đưa về hai vecto chung gốc để xác định góc.

Ta có: EG//AC (do ACGE là hình bình hành), suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = {45^o}\).

Sử dụng công thức tính tích góc giữa hai vecto.

\({\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a .\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b = \frac{9}{2}\).

Do đó: \(\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{3}{8}\).

a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

c) Hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = \frac{{2{x^2} - 1}}{{x + 1}}\)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a)Đúng. Hàm số f(x) có hai cực trị.

b) Sai. Hàm số có khoảng nghịch biến.

c) Đúng. Hàm số không có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

d) Sai. Đồ thị có dạng của hàm số bậc 3.

a) Đồ thị hàm số f(x) là đồ thị của hàm số \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}}\)

b) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;2)\) và \((2; + \infty )\)

d) Hàm số y = f(x) có hai cực trị

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a)Sai. Đồ thị \(y = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{x - 1}}\) có tiệm cận đứng là x = 1. Tiệm cận đứng của đồ thị trên hinh là x = 2.

b) Đúng. Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2;2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.

c) Đúng. Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;2)\) và \((2; + \infty )\).

d) Sai. Hàm số không có cực trị.

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} \)

b) \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \)

c) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {D'A} = \overrightarrow 0 \)

d) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {D'O} + \overrightarrow {OC'} \)

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc ba điểm, quy tắc hình hộp.

a) Sai. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AB'} \), \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AD'} \), mà \(\overrightarrow {AB'} \ne \overrightarrow {AD'} \) nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DD'} \) sai.

b) Đúng. Theo quy tắc hình hộp: \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \).

c) Đúng. \((\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} ) + (\overrightarrow {BC'} + \overrightarrow {D'A} ) = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \).

d) Đúng. \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AC'} \), \(\overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {D'O} + \overrightarrow {OC'} = \overrightarrow {AC'} \), suy ra \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AD'} + \overrightarrow {D'O} + \overrightarrow {OC'} \).

a) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 15\)

b) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 5\)

c) \({\overrightarrow b ^2} = 14\)

d) \(7x + y = 0\)

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto.

a) Sai. Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 1.( - 1) + 3.2 + 4.3 = 17\).

b) Sai. Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {26} \).

c) Đúng. Vì \({\overrightarrow b ^2} = {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} = {( - 1)^2} + {2^2} + {3^3} = 14\).

d) Đúng. Theo giả thiết ta có \(\overrightarrow c = (x;y;z) \ne \overrightarrow 0 \) và vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a = (1;3;4)\) và \(\overrightarrow b = ( - 1;2;3)\) nên \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow c .\overrightarrow a = 0}\\{\overrightarrow c .\overrightarrow b = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{ - 1x + 2y + 3z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4z = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{1x + 3y + 4\frac{{ - 5}}{7}y = 0}\\{z = \frac{{ - 5}}{7}y}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{7x + y = 0}\\{5y + 7z = 0}\end{array}} \right.\)

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0.

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Đặt \(t = \cos x \in [ - 1;1]\), khi đó \(y = f(t) = 2{t^3} - \frac{9}{2}{t^2} + 3t + \frac{1}{2}\).

Ta có: \(f'(t) = 8{t^2} - 9t + 3 > 0\) \(\forall t\).

Suy ra hàm f(t) đồng biến trên (-1;1), do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số là f(-1) = 1.

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = \frac{m}{2}\).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;3) nên \(\frac{m}{2} = 1 \Leftrightarrow m = 2\).

Thử lại thấy thỏa mãn.

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Gọi C’(x;y;z). Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (3;2;0)\), \(\overrightarrow {AD} = (3;0;1)\), \(\overrightarrow {AA'} = (4;2;3)\).

Mà \(\overrightarrow {AC'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} \), suy ra \(\overrightarrow {AC'} = (10;4;4)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10 + 3}\\{y = 4 - 0}\\{z = 4 - 0}\end{array}} \right.\), vậy C’(13;4;4).

Vậy tổng cần tìm là 13 + 4 + 4 = 21.

Thiết lập hàm số tính năng lượng với thời gian t khi cá bơi ngược dòng. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Vận tốc cá bơi khi ngược dòng là v – 6 (km/h). Thời gian cá bơi để vượt khoảng cách 300 km là \(t = \frac{{300}}{{v - 6}}\) (giờ).

Năng lương tiêu hao của cá để vượt khoảng cách đó là \(E(v) = c{v^3}.\frac{{300}}{{v - 6}} = 300c.\frac{{{v^3}}}{{v - 6}}\) (jun), v > 6.

Ta có: \(E'(v) = 600c{v^2}\frac{{v - 9}}{{{{(v - 6)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{{20}{c}}{v = 0}\\{v = 9}\end{array}} \right.\)

Loại v = 0 vì v > 6.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy để tiêu hao ít năng lượng nhất, cá phải bơi với vận tốc (khi nước đứng yên) là 9 (km/h).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x).

Ta có \(f'(x) = - 400x + 550 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{11}}{8}\).

Bảng biến thiên:

Ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất khi \(x = \frac{{11}}{8} \approx 1,375\).

Vậy công ty cần bán tour với giá 1,38 triệu đồng/khách để doanh thu cao nhất.

Dựa vào sự biến thiên, dấu của cực trị hàm số để xét dấu a, b, c, d.

Ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên a < 0.

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm có tung độ dương nên d > 0.

Ta có: \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c\). Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2} < 0\) nên:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} \Rightarrow \frac{b}{a} > 0 \Rightarrow b < 0}\\{{x_1}.{x_2} = \frac{c}{{3a}} > 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.\) (do a < 0)

Vậy có 1 số dương d.