Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 4

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty )\)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)

b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048)

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} \)

b) \(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} \)

c) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 \)

d) \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {C'D} \)

a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3; - 3; - 3)\)

b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

c) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)

d) \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \)

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f(x) đồng biến trên các khoảng \(( - \infty ; - 1)\) và \(( - 1;0)\).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Nhìn vào đồ thị ta thấy ngay tiệm cận đứng x = -1, tiệm cận ngang y = 2. Loại B, D.

Đồ thị hàm số đi qua điểm (0; -1).

Xét \(y = \frac{{2x + 1}}{{x + 1}}\) khi x = 0 ⇒ y = 1. Loại đáp án C.

Xét \(y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}\) y = (2x – 1)/(x + 1) khi x = 0 ⇒ y = -1. Chọn đáp án A.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

\(M = \mathop {\max }\limits_{[ - 1;4]} f(x) = f( - 1) = 3\).

\(M = \mathop {\min }\limits_{[ - 1;4]} f(x) = f(1) = - 1\).

Vậy M + m = 3 + (-1) = 2.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 0\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 5\) nên đồ thị có hai tiệm cận ngang là y = 0, y = 5.

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = - \infty \) nên đồ thị có một tiệm cận đứng là x = 1.

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{ - {x^2} + 4x - 1}}{{x + 3}} = - x + 7 + \frac{{ - 22}}{{x + 3}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - ( - x + 7)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ - 22}}{{x + 3}} = 0\).

Vậy đường thẳng y = -x + 7 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị và tìm giao điểm của chúng.

Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 2, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 1 nên tâm đối xứng có tọa độ (1;2).

Dựa vào lý thuyết về vecto trong không gian.

D sai. Hai vecto cùng phương có thể cùng hướng ngoặc ngược hướng.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy có hai điểm cực trị nên đây là hàm số bậc ba.

Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên hệ số a > 0.

Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).

\(f'(x) = \frac{{ - \cos x}}{{{{\sin }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \).

Vì \(x \in \left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) nên \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2}\).

Ta có: \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\sqrt 3 \); \(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\); \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = 2\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{1}{{\sin x}}\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) bằng 1.

Dựa vào sự biến thiên, cực trị và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Ta có: \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (0;1) và (−2;−3) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(0) = 0}\\{f(0) = 1}\\{f'( - 2) = 0}\\{f( - 2) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{d = 1}\\{12a - 4b = 0}\\{ - 8a + 4b + 1 = - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = - 3}\\{c = 0}\\{d = 1}\end{array}} \right.} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = - {x^3} - 3{x^2} + 1\).

Dựa vào quy tắc ba điểm.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (theo quy tắc ba điểm).

Sử dụng công thức tính tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.( - 1) + 4.3 + 2.0 = 11\).

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty )\)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 5

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

a) Đúng. f'(x) > 0 trên \(( - \infty ;1)\) và \((3; + \infty )\).

b) Đúng. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 2 (x = 1, x = 3).

c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng \(( - \infty ;0)\)

b) Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048)

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [2;19] bằng 6403

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -40

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

\(f'(x) = 3{x^2} - 24 = 0 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2\sqrt 2 \in [2;19]}\\{x = - 2\sqrt 2 \notin [2;19]}\end{array}} \right.\)

f(2) = 40; \(f(2\sqrt 2 ) = - 32\sqrt 2 \); f(19) = 6403.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên \((0;16)\) và đồng biến trên \((16; + \infty )\).

b) Đúng. Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là (16;-2048).

c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên [-1;2] bằng 6403.

d) Sai. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;2] bằng \( - 32\sqrt 2 \).

a) \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AC'} \)

b) \(\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DD'} + \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BB'} \)

c) \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow 0 \)

d) \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {C'D} \)

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc hình hộp.

a) Đúng. Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} + \overrightarrow {DD'} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} \) (quy tắc hình hộp).

b) Sai. Vì \(\overrightarrow {BD} - \overrightarrow {DD'} - \overrightarrow {B'D'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {D'B'} + \overrightarrow {D'D} = \overrightarrow {D'D} = \overrightarrow {B'B} \).

c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {C'D} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BA'} + \overrightarrow {C'B} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {C'A'} = \overrightarrow 0 \).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {AB'} = \overrightarrow {DC'} \ne \overrightarrow {C'D} \).

a) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (3; - 3; - 3)\)

b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

c) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt 3 \)

d) \(\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \)

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, khái niệm hai vecto cùng phương, công thức tính độ dài vecto.

a) Đúng. Vì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2 + 2; - 2 - 1; - 4 + 1) = (3; - 3; - 3)\).

b) Sai. Vì \(\frac{2}{1} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \ne \frac{{ - 4}}{1}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương.

c) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \).

d) Đúng. Vì \(\overrightarrow a = (2; - 2; - 4) = 2\overrightarrow i - 2\overrightarrow j - 4\overrightarrow k \).

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Ta có: \(f'(x) = - \frac{8}{{{{(x - 3)}^2}}} < 0\) \((\forall x \in D)\) nên hàm nghịch biến trên tập xác định.

Suy ra giá trị nhỏ nhất của f(x) trên [0;2] là f(2) = -5, giá trị lớn nhất của f(x) trên [0;2] là \(\frac{1}{3}\).

Vậy \(M = \frac{1}{3},m = - 5\) nên \(3M - m = 3.\frac{1}{3} - ( - 5) = 6\).

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Do đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang nên 4a – b = 0.

Do đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, suy ra biểu thức \({x^2} + ax + b - 12\) nhận x = 0 làm nghiệm, tức b = 12.

Từ b, ta tìm được a = 3.

Thử lại, ta có a = 3 và b = 12 là hai số cần tìm.

Vậy a + b = 3 + 12 = 15.

Xét sự biến thiên của hàm số v(t) = s’(t).

\(v(t) = s'(t) = - {t^2} + 36t - 35\).

\(v'(t) = - 2t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 18\).

Từ bảng biến thiên, ta thấy trong khoảng (18;40) giây, vận tốc tức thời của chất điểm giảm.

P = 18 + 9.40 = 378.

Thiết lập hàm số biểu diễn diện tích của tam giác dựa vào công thức Heron. Lập bảng biến thiên tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Gọi x, y là độ dài hai cạnh còn lại của tam giác.

Ta có: x + y = 16 - 6 = 10 (x > 0, y > 0).

Diện tích tam giác là: \(S = \sqrt {p(p - 6)(p - x)(p - y)} = \sqrt {8.2(8 - x)(8 - y)} = 4\sqrt {(8 - x)(8 - y)} \).

Thay y = 10 – x, ta được: \(S = 4\sqrt {(8 - x)(x - 2)} = 4\sqrt { - {x^2} + 10x - 16} \), \(x \in \left( {0;10} \right)\).

Đặt \(f(x) = - {x^2} + 10x - 16\), ta có \(f'(x) = - 2x + 10 = 0 \Leftrightarrow x = 5\).

Từ bảng biến thiên, suy ra f(x) lớn nhất khi x = 5. Khi đó, diện tích tam giác cũng đạt giá trị lớn nhất là 12 \(c{m^2}\) khi x = 5.

Sử dụng quy tắc tổng hợp lực.

Gọi \(\overrightarrow {{F_1}} ,\overrightarrow {{F_2}} ,\overrightarrow {{F_3}} \) lần lượt là ba lực tác động vào vật đặt tại điểm O như hình.

Ta có: \[\overrightarrow {{F_1}} = OA,\overrightarrow {{F_2}} = OB,\overrightarrow {{F_3}} = OC\].

Khi đó, độ lớn các lực là OA = 25N, OB = 12N, OC = 4N.

Dựng hình bình hành OADB. Theo quy tắc hình bình hành, ta có: \(\overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} \).

Suy ra \({\overrightarrow {OD} ^2} = {\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)^2} = {\overrightarrow {OA} ^2} + {\overrightarrow {OB} ^2} + 2\overrightarrow {OA} \overrightarrow {OB} \)

\( = O{A^2} + O{B^2} + 2OA.OB\cos \left( {\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OB} } \right)\)

\( = {25^2} + {12^2} + 2.25.12\cos {120^o} = 469 = OD\).

Dựng hình bình hành ODEC.

Tổng lực tác động vào vật là \(\overrightarrow F = \overrightarrow {OE} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \).

Độ lớn của hợp lực tác động vào vật là F = OE.

Vì OC⊥(OADC) nên OC⊥OD, suy ra ODEC là hình chữ nhật. Khi đó, tam giác ODE vuông tại D.

\(O{E^2} = O{C^2} + O{D^2} = {4^2} + 469 = 485\).

Vậy \(F = OE \approx 22\).

Điểm M có hoành độ bằng OA, tung độ bằng OB, cao độ bằng OC.

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác để tìm OA, OB, OC.

Ta có:

\(c = OC = OM.\sin {48^o} = 50.\sin {48^o} \approx 37,2\).

\(a = OA = OH.\cos {64^o} = OM.\cos {48^o}.\cos {64^o} = 50.\cos {48^o}.\cos {64^o} \approx 14,7\).

\(b = OB = OH.\sin {64^o} = OM.\cos {48^o}.\sin {64^o} = 50.\cos {48^o}.\sin {64^o} \approx 30,1\).

Vậy a + b – c = 14,7 + 30,1 – 37,2 = 7,6.