Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 7

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)

d) \(AB \bot CD\)

a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)

b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)

c) \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c = ( - 2;11; - 3)\)

d) \(\overrightarrow x = - 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \)

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2) và (0;1); nghịch biến trên khoảng (-2;0) và (1;+∞).

\({x_0}\) là điểm cực trị của hàm số \(f(x)\) nếu \(f'({x_0}) = 0\) và \(f'({x_0})\) đổi dấu qua \({x_0}\).

\(f'(x) = x{(x + 1)^2}{(x - 2)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = - 1}\\{x = 2}\end{array}} \right.\).

\(f'(x)\) đổi dấu qua \(x = 0\), \(x = 2\).

Vậy số điểm cực trị của hàm số là 2.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f(2) = 0\), \(\mathop {\min }\limits_{[ - 2;2]} f(x) = f( - 1) = f(2) = - 2\). Vậy M + m = 0 + (-2) = -2.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty \) nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 1\), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = - 1\) nên y = 1, y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có 3 tiệm cận.

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = y = \frac{{{x^2} + 3x}}{{x - 2}} = x + 5 + \frac{{10}}{{x - 2}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - \left( {x + 5} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{10}}{{x - 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng \(y = x + 5\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tìm điểm thuộc đồ thị có hoành độ tại y’’=0.

\(y' = 3{x^2} - 3\), \(y'' = 6x = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Thay x = 0 vào hàm số, được y = 1.

Dựa vào lý thuyết vecto cùng phương, vecto đồng phẳng.

Câu D sai. Ví dụ phản chứng: 3 cạnh của hình chóp tam giác đồng quy tại 1 đỉnh nhưng chúng không đồng phẳng.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(f'(x) > 0,\forall x > 2\) nên y = f(x) đồng biến trên \((2; + \infty )\).

Dựa vào sự biến thiên và cực trị của hàm số để xét dấu.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên a > 0. Loại D.

Đồ thị đi qua điểm (0;d) nên d > 0 (vì đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương).

Hàm số đạt cực trị tại hai điểm \({x_1},{x_2}\). Dựa vào hình vẽ ta thấy \({x_1} < 0,x{}_2 > 0\) và \({x_1} + {x_2} > 0\).

Mặt khác, \(y' = 3a{x^2} + 2bx + c \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_1} + {x_2} = \frac{{ - 2b}}{{3a}} > 0 \Rightarrow b < 0}\\{{x_1}{x_2} = \frac{c}{{3a}} < 0 \Rightarrow c < 0}\end{array}} \right.\)

Dựa vào sự biến thiên, tiệm cận và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = -2. Loại A và D.

Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2x - 4}}{{x + 1}}\) có \(y' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}} > 0\). Hàm số đồng biến trên các khoảng xác định của nó.

Xét hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\) có \(y' = \frac{{ - 5}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\). Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó.

Mà theo bảng biến thiên thì hàm số nghịch biến. Ta chọn hàm số \(y = \frac{{ - 2x + 3}}{{x + 1}}\).

Tính góc thông qua tích vô hướng của 2 vecto.

Ta có: \(AC = a\sqrt 2 \Rightarrow A{C^2} = 2{a^2} = {a^2} + {a^2} = S{A^2} + S{C^2}\). Suy ra \(\Delta SAC\) vuông tại S.

Khi đó: \(\overrightarrow {NM} .\overrightarrow {SC} = \frac{1}{2}\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} = 0\). Suy ra \(\left( {\overrightarrow {NM} ,\overrightarrow {SC} } \right) = {90^o}\), tức \(\left( {MN,SC} \right) = {90^o}\).

Sử dụng công thức tính tích góc giữa hai vecto.

Ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right| \Rightarrow \cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = - 1 \Rightarrow (\overrightarrow a ,\overrightarrow b ) = {180^o}\).

a) Đồ thị hàm số đã cho có một 1 cực trị

b) Hàm số đã cho đồng biến trên R

c) Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x)

d) Đồ thị hàm số f(x) là \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a)Sai. Hàm số f(x) không có cực trị.

b) Đúng. Hàm số đã cho đồng biến trên R.

c) Đúng. Điểm (1;2) là tâm đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) vì nó là điểm uốn của đồ thị.

d) Sai. Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 3x - 1\) cắt trục tung tại điểm (0;-1), còn đồ thị trên hình vẽ cắt trục tung tại điểm (0;1).

a) Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = 0

b) Đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

c) Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng và

d) Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4)

Quan sát đồ thị và nhận xét.

a)Sai. Đồ thị hàm số f(x) có tiệm cận đứng x = -1.

b) Sai. Tâm đối xứng của đồ thị là điểm (-1;0).

c) Sai. Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng \(( - \infty ; - 3)\) và \((1; + \infty )\)

d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có điểm cực đại (-3;-4) và điểm cực tiểu (1;4) .

a) \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)

b) \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}\)

c) \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} \)

d) \(AB \bot CD\)

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, công thức tính góc giữa hai vecto.

a) Đúng. \(\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CB} = \overrightarrow 0 \).

b) Đúng. \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = - a.a.\cos {60^o} = - \frac{{{a^2}}}{2}\).

c) Sai. \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD} = a.a.\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}\), \(\overrightarrow {AC} .\overrightarrow {CD} = - \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = - a.a.\cos {60^o} = - \frac{{{a^2}}}{2}\).

d) Đúng. Giả sử I là trung điểm của CD thì \(CD \bot (ABI)\), suy ra \(CD \bot AB\).

a) \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = 14\)

b) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {74} \)

c) \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c = ( - 2;11; - 3)\)

d) \(\overrightarrow x = - 2\overrightarrow a - 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \)

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto.

a) Sai. Vì \(\left| {2\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{4^2} + {6^2} + {2^2}} = 2\sqrt {14} \).

b) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \sqrt {{1^2} + {8^2} + {3^2}} = \sqrt {74} \).

c) Đúng. Vì \(3\overrightarrow a - 2\overrightarrow c = (6;9;3) - (8; - 2;6) = ( - 2;11; - 3)\)

d) Sai. Đặt \(\overrightarrow x = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b + p\overrightarrow c \) với \(m,n,p \in R\).

Suy ra \(( - 3;22;5) = m(2;3;1) + n( - 1;5;2) + p(;4; - 1;3) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2m - n + 4p = - 3}\\{3m + 5n - p = 22}\\{m + 2n + 3p = 5}\end{array}} \right.\)

Giải hệ trên ta được m = 2, n = 3, p = -1. Vậy \(\overrightarrow x = 2\overrightarrow a + 3\overrightarrow b - \overrightarrow c \).

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0.

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Tập xác định: D = [-1;1].

Ta có: \(f'(x) = - \frac{1}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{1}{{2\sqrt {1 + x} }} = - \frac{{\sqrt {1 + x} }}{{2\sqrt {1 - x} }} + \frac{{\sqrt {1 - x} }}{{2\sqrt {1 + x} }} = 0\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - x} = \sqrt {1 + x} \Leftrightarrow x = 0\).

\(f( - 1) = f(1) = \sqrt 2 \); f(0) = 2.

Vậy \(M + 2{m^2} = 2 + 2.{\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = 6\).

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là \(x = \frac{1}{m}\).

Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1;4) nên \(\frac{1}{m} = 1 \Leftrightarrow m = 1\).

Thử lại thấy thỏa mãn.

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Theo quy tắc hình hộp, ta có: \(\overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC'} \), suy ra \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {AC'} - \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AD} \).

Lại có: \(\overrightarrow {AC'} = (3;5; - 6)\), \(\overrightarrow {AB} = (1;1;1)\), \(\overrightarrow {AD} = (0; - 1;0)\).

Do đó:

\(\overrightarrow {AA'} = (2;5; - 7)\), suy ra \(A'(3;5; - 6)\). Tổng cần tìm là 3 + 5 + (-6) = 2.

Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số.

Theo giả thiết: \(s(t) = 6{t^2} - {t^3}\), \(t \in (0; + \infty )\).

Vận tốc của chuyển động là \(v(t) = s'(t) = 12t - 3{t^2}\).

Ta có: \(v'(t) = 12 - 6t = 0 \Leftrightarrow t = 2\).

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi t = 2.

Lập hàm số tính doanh thu một ngày của khách sạn và tìm giá trị lớn nhất.

Gọi giá tiền chủ khách sạn cho thuê một phòng là x (\(x \ge 500\)).

Vì cứ tăng giá thêm 50 000 đồng một phòng thì có thêm 2 phòng trống nên số phòng được thuê là:

\(60 - \frac{{x - 500}}{{50}}.2 = 80 - \frac{x}{{25}}\).

Khi đó, tổng doanh thu 1 ngày là \(x\left( {80 - \frac{x}{{25}}} \right) = 80x - \frac{{{x^2}}}{{25}} = f(x)\).

Ta có \(f'(x) = 80 - \frac{{2x}}{{25}} = 0 \Leftrightarrow x = 1000\).

Vì \(f(x)\) là tam thức bậc hai có hệ số cao nhất âm nên f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 1000.

Vậy để tổng doanh thu lớn nhất thì thì chủ khách sạn nên cho thuê phòng với giá 1000 nghìn đồng/ngày (tức 1 triệu đồng).

Quan sát đồ thị.

Đường tiệm cận ngang của đồ thị là \(y = \frac{a}{c}\) cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên a.c > 0. Vì a > 0 nên c > 0.

Đường tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = \frac{{ - d}}{c}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ âm nên -d.c < 0 hay c.d > 0. Vì c > 0 nên d > 0.

Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ âm nên \(\frac{b}{d} < 0\). Mà d > 0 nên b < 0.

Vậy ta có a, c, d là các số dương.