Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 3

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;37)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

c) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;2] bằng 12

d) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;2] bằng 33

a) \(\overrightarrow {SG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {SO} \)

b) \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} \)

c) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \)

d) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 12\overrightarrow {GO} \)

a) \(\overrightarrow b - \overrightarrow a = (2;4;6)\)

b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 6 \)

d) \( - \overrightarrow b = 3\overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \)

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy trên khoảng \(( - \infty ; - 1)\) đạo hàm y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) có tiệm cận đứng x = 1. Tiệm cận ngang y = 1 nên loại trường hợp D.

Đồ thị hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}\) đi qua điểm (0; 2) nên chọn đáp án A.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

\(M = \mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = f(1) = 3\).

\(M = \mathop {\min }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = f(2) = - 2\).

Vậy M + 2m = 3 + 2.(-2) = -1.

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét các giới hạn.

Ta có:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = 2\) nên ta có tiệm cận ngang y = 2.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 5\) nên ta có tiệm cận ngang y = 5.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f(x) = + \infty \) nên ta có tiệm cận đứng x = 1.

Vậy tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là 3.

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax + b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{{x^2} + 4x - 7}}{{x - 2}} = x + 6 + \frac{5}{{x - 2}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (x + 6)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x - 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng y = x + 6 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị và tìm giao điểm của chúng.

Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 1, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 3 nên tâm đối xứng có tọa độ (3;1).

Dựa vào định nghĩa các vecto bằng nhau, quy tắc cộng, trừ vecto.

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {EF} \), \(\overrightarrow {DB} = \overrightarrow {HF} \) vì chúng cùng độ dài và cùng hướng.

\(\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {EH} = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {HE} = \overrightarrow {HF} = \overrightarrow {DB} \).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy có hai điểm cực trị nên đây là hàm số bậc ba.

Mặt khác, \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \) nên hệ số a > 0.

Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).

\(f'(x) = \frac{{ - x}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

Ta có: f(-4) = 4; f(0) = 5; f(4) = 3.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \sqrt {25 - {x^2}} \) trên đoạn [-4;4] bằng 5.

Cực trị của hàm số f(x) là nghiệm bội lẻ của phương trình f’(x) = 0.

Ta có: f’(x) = 0 có 3 nghiệm bội lẻ là x = 0, x = 2 và x = -1, tương ứng với 3 điểm cực trị.

Trong không gian có hệ trục tọa độ Oxyz, \(\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k \) lần lượt là các vecto đơn vị trên các trục Ox, Oy, Oz.

Tọa độ của vecto \(\overrightarrow u \) là (3;2;-1).

Sử dụng công thức tính tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

Ta có: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 2.( - 3) + ( - 1).4 + 3.1 = - 7\).

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng (0;2) và (2;3)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 3

Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

d) Hàm số đạt cực tiểu tại x = -1

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên (0;2).

b) Đúng. Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3 (x = 0, x = 2, x = 3).

c) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất là 3.

d) Sai. Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2.

a) Hàm số f(x) đồng biến trên khoảng (1;37)

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 3

c) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [-1;2] bằng 12

d) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [-1;2] bằng 33

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

\(f'(x) = - 4{x^3} + 24{x^2} = 0\) khi \(x = \sqrt 6 \), \(x = - \sqrt 6 \) hoặc x = 0.

Bảng biến thiên:

Ta có: f(-1) = 12; f(2) = 33; f(0) = 1.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên .

b) Đúng. Hàm số có ba điểm cực trị (, x = 0, ).

c) Sai. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên [-1;2] bằng 1.

d) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên [-1;2] bằng 33.

a) \(\overrightarrow {SG} = \frac{2}{3}\overrightarrow {SO} \)

b) \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AG} \)

c) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 3\overrightarrow {SG} \)

d) \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = 12\overrightarrow {GO} \)

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc trọng tâm.

a) Đúng. Vì hai vecto \(\overrightarrow {SG} \), \(\overrightarrow {SO} \) cùng hướng và \(\left| {\overrightarrow {SG} } \right| = \frac{2}{3}\left| {\overrightarrow {SO} } \right|\).

b) Sai. Vì \(\overrightarrow {AS} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = 3\overrightarrow {AG} \) (quy tắc trọng tâm)

c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} = 2\overrightarrow {SO} = 2.\frac{2}{3}\overrightarrow {SG} = 3\overrightarrow {SG} \).

d) Đúng. Vì \(\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SD} = \overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SC} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SD} = 2\overrightarrow {SO} + 2\overrightarrow {SO} \)

\( = 4\overrightarrow {SO} = 4.3\overrightarrow {GO} = 12\overrightarrow {GO} \).

a) \(\overrightarrow b - \overrightarrow a = (2;4;6)\)

b) \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương

c) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt 6 \)

d) \( - \overrightarrow b = 3\overrightarrow i + 6\overrightarrow j + 9\overrightarrow k \)

Sử dụng các quy tắc cộng, trừ vecto, nhân vecto với một số, khái niệm hai vecto cùng phương, công thức tính độ dài vecto.

a) Đúng. Vì \(\overrightarrow b - \overrightarrow a = (3 - 1;6 - 2;9 - 3) = (2;4;6)\).

b) Đúng.  Vì \(\frac{1}{3} = \frac{2}{6} = \frac{3}{9}\) nên \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) cùng phương.

c) Sai. Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{1^2} + {2^2} + {3^2}} = \sqrt {14} \).

d) Sai. Vì \( - \overrightarrow b = ( - 3; - 6; - 9) = - 3\overrightarrow i - 6\overrightarrow j - 9\overrightarrow k \).

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Ta có: \(f'(x) = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0\) khi x = -1 hoặc x = 3.

Xét đoạn [2;4] có: f(2) = 7; f(3) = 6; \(f(4) = \frac{{19}}{3}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [2;4] là 6.

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Nếu m = 1, ta có hàm số \(y = \frac{{3x + 3}}{{x + 1}} = 3\) không có tiệm cận qua A(-2;7).

Nếu \(m \ne 1\), đồ thị có tiệm cận đứng x = -1 và tiệm cận ngang y = 2m + 1.

Như vậy, để thỏa mãn yêu cầu đề bài, tiệm cận ngang phải đi qua A, khi và chỉ khi 2m + 1 = 7, tức m = 3.

Tìm x để hàm số \(L(x) = - 0,5{x^2} + 6x - 10\) đạt giá trị lớn nhất.

Lợi nhuận đạt mức cao nhất khi \(L(x) = - 0,5{x^2} + 6x - 10\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta có: \(L'(x) = - x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 6\).

Theo bảng biến thiên, L(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 6 (trăm).

Vậy lợi nhuận đạt mức cao nhất khi bán ra 600 sản phẩm.

Thiết lập hàm số biểu diễn bình phương độ dài AM theo biến x là hoành độ. Lập bảng biến thiên cho hàm số, tìm x để hàm số đó đạt giá trị nhỏ nhất.

Gọi \(M(x;{x^2})\) là một điểm bất kì của parabol (P).

Ta có: \(A{M^2} = {(x + 3)^2} + {x^4} = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\).

AM nhỏ nhất khi và chỉ khi \(f(x) = A{M^2}\) nhỏ nhất.

Xét \(f(x) = {x^4} + {x^2} + 6x + 9\).

Có \(f'(x) = 4{x^3} + 2x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).

Dựa vào bảng biến thiên, ta suy ra f(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1.

Như vậy, điểm M cần tìm có tọa độ (-1;1). Tung độ của M bằng 1.

Sử dụng quy tắc hình hộp.

Vì ba vecto trên đôi một vuông góc nên ta có thể áp dụng quy tắc hình hộp. Hợp lực F của ba vecto trên có độ lớn là:

\(F = \sqrt {F_1^2 + F_2^2 + F_3^2} = \sqrt {{2^2} + {3^2} + {4^2}} = \sqrt {29} \approx 5,4\) (N).

Sử dụng quy tắc cộng vecto.

Máy bay di chuyển với tốc độ không đổi, sau 10 phút sẽ đi được quãng đường đúng bằng quãng đường 10 phút trước, tức AB = BD.

Mặt khác, hướng bay giữ nguyên nên \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {BD} = (940 - 800;550 - 500;8 - 7) = (140;50;1)\).

Ta tính được \(D = (940 + 140;550 + 50;8 + 1) = (1080;600;9)\).

Vậy x + y + z = 1689.