Đề thi giữa kì 1 Toán 12 - Đề số 5

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 1

d) Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận

a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

b) Hàm số có 3 điểm cực trị

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng -4

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29

a) \(\overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {CC'} \)

b) \(\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {CD'} \)

c) \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \)

d) \(\overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} = 2\overrightarrow {A'C} \)

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\)

b) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2;0; - 1)\)

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\)

d) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({60^o}\)

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số đã cho đồng biến trên khoảng (-∞;-2); nghịch biến trên khoảng (-2;+∞).

Suy ra ii) Sai; iii) Đúng; iv) Đúng.

Ta thấy khoảng (-∞;-3) chứa khoảng (-∞;-5) nên i) Đúng.

Vậy chỉ có ii) sai.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Ta có đây là đồ thị hàm số dạng \(y = \frac{{ax + b}}{{cx + d}}\).

Mặt khác, đồ thị có tiệm cận đứng x = -1.

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy:

\(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) = 3\).

Do đó, \(\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} g(x) = 2\mathop {\max }\limits_{[ - 1;2]} f(x) - 1 = 2.3 - 1 = 5\).

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

Dựa vào bảng biến thiên ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f(x) = + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{( - 2)}^ + }} f(x) = - \infty \) nên x = 0, x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Mặt khác: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = 0\) nên y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị có ba tiệm cận.

Thực hiện phép chia đa thức (ở tử) cho đa thức (ở mẫu) ta được \(y = ax + b + \frac{M}{{cx + d}}\)(a≠0) với M là hằng số.

Đường thẳng y = ax + b (a≠0) gọi là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f(x) - (ax + b)} \right] = 0\).

Kết luận đường thẳng y = ax +b là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: \(y = \frac{{2{x^2} - 9x + 3}}{{x + 2}} = 2x - 13 + \frac{{29}}{{x + 2}} = f(x)\).

Từ đó: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f(x) - (2x - 13)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{29}}{{x + 2}} = 0\).

Vậy đường thẳng y = 2x - 13 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đã cho.

Tìm tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị và tìm giao điểm của chúng.

Tiệm cận ngang của đồ thị là y = 2, tiệm cận đứng của đồ thị là x = 1 nên tâm đối xứng có tọa độ (1;2).

Dựa vào quy tắc ba điểm, khái niệm hai vecto bằng nhau và quy tắc hình hộp.

A sai vì \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) ngược hướng.

B đúng (theo quy tắc hình hộp).

C sai (theo quy tắc ba điểm).

D sai (theo quy tắc hình hộp).

Quan sát đồ thị và nhận xét.

Dựa vào đồ thị ta thấy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = - \infty \) nên hệ số a < 0. Loại đáp án C.

Hàm số có hai điểm cực trị \({x_1} < 0 < {x_2}\) nên y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu.

Xét đáp án A, có \(y' = - 3{x^2} + 6x = 0 \Leftrightarrow \) x = 0 hoặc x = 2 (loại).

Xét đáp án D, có \(y' = - 3{x^2} - 3x < 0\) \((\forall x \in \mathbb{R})\) (loại).

Tìm đạo hàm của hàm số sau đó tính các giá trị f(x).

\(f'(x) = 2\cos x + 2\cos 2x = 4\cos \frac{x}{2}\cos \frac{{3x}}{2}\).

Vì \(x \in \left[ {0;\frac{{3\pi }}{2}} \right]\) nên \(f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0,x = \frac{\pi }{3}\).

Ta có: \(f\left( 0 \right) = 0\); \(f\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\); \(f\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = \frac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 2\sin x + \sin 2x\) trên đoạn \(\left[ {\frac{\pi }{3};\frac{{5\pi }}{6}} \right]\) bằng 0.

Dựa vào sự biến thiên, cực trị và các điểm hàm số đi qua để lập hệ phương trình tìm hệ số.

Ta có: \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Đồ thị hàm số đạt cực trị tại điểm (0;-4) và (2;0) nên ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{f'(0) = 0}\\{f(0) = - 4}\\{f'(2) = 0}\\{f(2) = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{c = 0}\\{d = - 4}\\{12a + 4b + c = 0}\\{8a + 4b + 2c + d = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3a + b = 0}\\{2a + b = 1}\\{c = 0}\\{d = - 4}\end{array}} \right.} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = 3}\\{c = 0}\\{d = - 4}\end{array}} \right.\)

Vậy hàm số cần tìm là \(y = - {x^3} + 3{x^2} - 4\).

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M})\).

\(\overrightarrow {MN} = ({x_N} - {x_M};{y_N} - {y_M};{z_N} - {z_M}) = (3 - 2;1 - 3;5 - 1) = (1; - 2;4)\).

Sử dụng công thức tính tọa độ tích vô hướng của hai vecto.

Theo giả thiết, ta có: \(\overrightarrow u = (1;3;2)\), \(\overrightarrow v = (2;1;5)\).

Khi đó: \(\overrightarrow u .\overrightarrow v = 1.2 + 3.1 + 2.5 = 15\).

a) Hàm số f(x) đồng biến trên mỗi khoảng xác định

b) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là 1

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất bằng 1

d) Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận

Quan sát bảng biến thiên và nhận xét.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên mỗi khoảng xác định.

b) Sai. Hàm số không có điểm cực trị.

c) Sai. Hàm số f(x) không có giá trị lớn nhất.

d) Đúng. Đồ thị hàm số f(x) có hai đường tiệm cận là x = 3, y = 1.

a) Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng

b) Hàm số có 3 điểm cực trị

c) Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng -4

d) Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29

Lập bảng biến thiên và nhận xét.

\(f'(x) = 4{x^3} - 20x = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = \sqrt 5 }\\{x = - \sqrt 5 \notin [0;9]}\end{array}} \right.\)

Ta có: f(0) = -4; \(f(\sqrt 5 ) = - 29\); f(9) = 5747.

a) Sai. Hàm số f(x) nghịch biến trên khoảng \((0;\sqrt 5 )\) và đồng biến trên khoảng \((\sqrt 5 ; + \infty )\).

b) Đúng. Hàm số có 3 điểm cực trị (\(x = - \sqrt 5 \), x = 0, \(x = \sqrt 5 \)).

c) Sai. Hàm số f(x) có giá trị lớn nhất trên đoạn [0;9] bằng 5747.

d) Đúng. Hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [2;19] bằng -29.

a) \(\overrightarrow {A'A} = - \overrightarrow {CC'} \)

b) \(\overrightarrow {BA'} = \overrightarrow {CD'} \)

c) \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \)

d) \(\overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} = 2\overrightarrow {A'C} \)

Sử dụng quy tắc cộng vecto, lý thuyết các vecto bằng nhau, vecto đối nhau, quy tắc hình hộp.

a) Đúng. Vì hai vecto \(\overrightarrow {A'A} \), \(\overrightarrow {CC'} \) ngược hướng và cùng độ dài.

b) Đúng. Vì hai vecto \(\overrightarrow {BA'} \), \(\overrightarrow {CD'} \) ngược hướng và cùng độ dài.

c) Đúng. Vì \(\overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \) theo quy tắc hình hộp).

d) Sai. Vì \(\overrightarrow {C'C} + \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {B'C'} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {A'C} \) theo quy tắc hình hộp).

a) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = 3\)

b) \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2;0; - 1)\)

c) \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = - 1\)

d) Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({60^o}\)

Sử dụng các quy tắc cộng vecto, công thức tính tích vô hướng của hai vecto, độ dài vecto, góc giữa hai vecto.

a) Đúng. Vì \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} = 3\).

b) Đúng. Vì \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = (2 + 0;1 - 1; - 2 + 1) = (2;0; - 1)\).

c) Sai. Vì \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 2.0 + 1.( - 1) - 2.1 = - 3\).

d) Sai. Vì \(\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 2)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {{( - 1)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\) nên góc giữa hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) bằng \({135^o}\).

- Tính y’, tìm các nghiệm của y’ = 0

- Tìm giá trị y tại các điểm cực trị của hàm số và hai đầu mút của đoạn.

Tập xác định: [-3;1].

Ta có: \(f'(x) = \frac{{ - 2 - 2x}}{{2\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {3 - 2x - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow x = - 1\).

f(-3) = 0; f(-1) = 2; f(1) = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 2.

Sử dụng quy tắc tìm đường tiệm cận của hàm phân thức.

Đồ thị nhận trục hoành làm tiệm cận ngang, tức \(n - 3 = 0 \Leftrightarrow n = 3\).

Đồ thị nhận trục tung làm tiệm cận đứng, tức \( - m - 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\).

Vậy m + n = -3 + 3 = 0.

Sử dụng công thức tính tích vô hướng của hai vecto trong không gian.

Độ lớn trọng lực tác dụng lên em nhỏ là: P = m.g = 25.9,8 = 245 (N).

Góc giữa hai vecto \(\overrightarrow P \) và \(\overrightarrow d \) là: \(\widehat {CAB} = {90^o} - \widehat {ABC} = {90^o} - {30^o} = {60^o}\).

Ta có: \(A = \overrightarrow F .\overrightarrow d = \overrightarrow P .\overrightarrow d = Pd\cos \left( {\overrightarrow P ,\overrightarrow d } \right) = 245.3,5.\cos {60^o} = 428,75 \approx 429\) (J).

Thiết lập hàm số biểu diễn thể tích lăng trụ theo x. Lập bảng biến thiên và tìm giá trị lớn nhất của hàm số đó.

Ta có: DF = CH = x, FH = 30 – 2x. Suy ra chu vi tam giác DHF là p = 15.

Thể tích khối lăng trụ là: \(V = {S_{DHF}}.EF = 30\sqrt {15(15 - x)(15 - x)(15 - 30 + 2x)} \)

\( = 30\sqrt {15{{(15 - x)}^2}(2x - 15)} \), \(x \in \left( {\frac{{15}}{2};15} \right)\).

Xét hàm số \(f(x) = {(15 - x)^2}(2x - 15)\).

\(f'(x) = - 2(15 - x)(2x - 15) + 2{(15 - x)^2} = - 2(15 - x)(3x - 30)\)

\(f'(x) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 10}\\{x = 15}\end{array}} \right.\)

Dựa vào bảng biến thiên, thể tích lăng trụ lớn nhất khi x = 10 (cm).

Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác ABC. Tính khoảng cách OG.

Gọi điểm G là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó:

\(G\left( {\frac{{2500 + 3700 - 5000}}{3};\frac{{4700 + 1100 - 4000}}{3};\frac{{ - 3600 + 2900 - 7100}}{3}} \right) = \left( {400;600; - 2600} \right)\).

Phi thuyền đang ở vị trí gốc tọa độ, cần di chuyển đến vị trí trọng tâm G của 3 vệ tinh A, B, C nên quãng đường cần di chuyển bằng độ dài vecto \(\overrightarrow {OG} = \left( {400;600; - 2600} \right)\).

Độ dài vecto \(\overrightarrow {OG} \) là \(\sqrt {{{400}^2} + {{600}^2} + {{( - 2600)}^2}} \approx 2698\).

Tìm N’(t) và giải phương trình N’(t) = 1,5.

Ta có: \(N'(t) = 100.0,012{e^{0,012t}} = 1,2{e^{0,012t}}\).

Tốc độ tăng trưởng dân số đạt 1,5 triệu người/năm tức là \(N'(t) = 1,5 \Leftrightarrow 1,2{e^{0,012t}} = 1,5 \Leftrightarrow t \approx 18,6\).

Vậy, vào năm 2023 + 18 = 2041, tốc độ tăng trưởng dân số của quốc gia đó là 1,5 triệu người/năm.